Comparer et ranger des nombres grâce à l'écriture scientifique

Qu'est-ce que l'écriture scientifique d'un nombre en 4ème ?

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bonjour dans cette vidéo tu vas pouvoir apprendre à ranger les nombres grâce à leur écriture scientifique on le voit ici on a des données avec un des nombres qui sont à chaque fois écrit sous leur forme scientifique alors avant de s'attaquer à cet exercice on va faire un rapide petit rappel sur la notion d'écriture scientifique \( 7,52 \times 10^5 \) est un nombre donné sous sa forme scientifique alors comment le reconnaît déjà ici on a une puissance de 10 avec un exposant qui est donc un entier relatif donc ça peut être deux trois cinq dix et ça peut donc être également un entier négatif avec \( 10^{-3} \) on a également un nombre sous son écriture scientifique en facteur de cette puissance de 10 on a un autre nombre qui lui est donnée sous sa forme décimales alors sa forme décimales exact pas question ici de mettre des petits points qui correspondrait à une main nombreux rationnelle cacher non non c'est un un vrai nombre si j'ai envie de dire attention ce nombre est compris entre 1 ça peut être égal à 1 et 10 ça ne peut pas être égal à 10 donc 1 et 10 mai disent exclus on va forcément écrire un nombre sur cet intervalle donc celui ci convient mais celui ci par exemple ne conviendrait pas là bien sûr n'a le droit d'écrire ça mais on n'a pas le droit de dire que c'est une notation scientifique celui-ci ne convient pas non plus parce que j'ai 0.52 et on a dit que c'est un nombre compris entre 1 et 10 disent exclus celui ci convient \( 9.50 \times 10^{-3} \) est également un nombre écrit sous sa forme scientifique et quand on regarde tous les nombres de notre énoncés on constate qu'on a à chaque fois une puissance de 10 à droite et à gauche un nombre compris entre 1 et 10 10 exclut donc on a bien des nombres sous leur forme scientifique

Comment comparer deux nombres en écriture scientifique ?

alors on va s'attaquer au premier exercice déjà donc celui qui traite de annette et on nous donne et bien on le voit ici des distances qui séparent chacune de ces planètes à notre soleil ce sont que des planètes de notre système solaire bien sûr on les reconnaît la question est donc de ranger ses planètes selon laure éloignement au soleil donc on va d'abord chercher la plus près du soleil et on finira par la plus éloignée du soleil ce qui signifie qu'il faudrait rechercher dans cette liste et bien déjà le nombre le plus petit on va donc en fait ranger ses quatre nombres qui sont donnés sous la forme scientifique du plus petit au plus grand et on aura donc là notre éloignement au soleil

alors avant de s'attaquer à nos planètes on va regarder rapidement un petit exemple très simple pour comprendre la technique admettons que j'aie à comparer ces deux nombres je cherche donc quel est le plus grand et bien la première des choses qu'il faut faire c'est comparer l'exposant des puissances de 10 car en fait l'exposant le plus grand va donner le nombre le plus grand et quel que soit le nombre qui est un facteur ici vu que ce nombre est compris entre 1 et 10 disent exclus il nous fera pas rattraper ici deux rangs qui seraient perdus par les puissances de 10 donc quoi qu'il arrive le nombre qui est ici ne modifiera pas l'ordre pour notre nombre et donc c'est bien la puissance de 10 qui va nous permette de conclure et bien ici on constate qu'on a une puissance de 10 donc \( 10^7 \) là on a dû \( 10^4 \) est bien le plus grand des deux c'est le deuxième et ceux ci marche également dans les négatifs c'est-à-dire que si on a des exposants négatif quoi qu'il arrive le nombre qui à l'exposant le plus grand va l'emporter

Comment savoir quel est le plus grand nombre avec la même puissance de 10 ?

mais qu'arrive-t-il alors si on se retrouve avec deux nombres qui ont le même exposants et bien je pense que tu vois arriver la méthode il suffit dans ce cas-là de comparer le nombre décimal qui est devant en facteur vu que l'ag \( 10^4 \) et là j'ai \( 10^4 \) forcément celui qui va me donner le nombre plus grand c'est celui qui ici à le nombre en facteur le plus grand ici c'est neuf ce qui signifie que \( 9 \times 10^4 \) est plus grand que \( 2 \times 10 \) licences iv

Comment ranger des grands nombres avec les puissances de 10 ?

ceci étant dit on peut maintenant s'attaquer à notre exercice et donc rangé les planètes de la plus proche du soleil à la plus éloignée alors de la plus proche du soleil à la plus éloignée si c'est la plus proche du soleil si c'est la planète la plus proche du soleil c'est forcément celle qui a la distance la plus petite donc on va chercher ici le nombre le plus petit et pour cela eh bien on va commencer par regarder les puissances de 10 celle qui à l'exposant le plus petit l'emportent et se trouve être un plus petite distance et donc la planète la plus proche du soleil

alors on a dû disputer ensuite dû \( 10^9 \) du \( 10^8 \) et du disputent ensuite ça commence mal on a ici \( 3^{10} \) qu'ils ont un exposant égale à 8 et donc qu'ils sont pour l'instant toutes les trois à égalité ils ont potentiellement chacune peut être la plus proche du soleil en tout cas une chose est sûre c'est que la \( 10^9 \) se trouve la plus éloignée son compte est réglé c'est saturne donc je peux mettre ici saturne comme planète la plus éloignée du soleil alors dans le trio de tête il nous reste donc la terre vénus et mars

alors peut-être que tu connais le résultat par coeur et dans ce cas là évidemment ça simplifie un petit peu l'exercice on va faire semblant de ne pas savoir et de retrouver donc l'ordre des planètes par rapport au soleil on a dit quoi on a dit que lorsqu'on se trouve avec une même puissance de 10 eh bien on va regarder le nombre qui est devant en facteurs et on cherche donc la distance la plus petite donc on commence par chercher le nombre le plus petit qu est ce qu on a on a dû 1,5 pour la terre on a dû 1,1 pour vénus c'est mieux et on a dû 2,2 pour mars c'est le plus grand et bien tu as compris venus est donc la planète la plus proche du soleil de cette liste je précise que on a eu omi quelques planètes avec son \( 1,1 \times 10^8 \) km vient ensuite la terre qui est environ à \( 1,5 \times 10^8 \) km et enfin mars qui est à \( 2,2 \times 10^8 \) km donc comme je les dis avant bien sûr il y a d'autres planètes de notre système solaire dont on n'a pas parlé et les distances qui sont ici donc tu l'as compris ce sont des très très grand nombre ceux-ci de l'ordre du milliard ensuite ceux ci de leurs deux centaines de millions de kilomètres ce sont des valeurs moyennes ces données donc les planètes tournent autour du soleil en formant une ellipse donc la trajectoire est elliptique ce qui veut dire que par moments elles se trouvent un peu plus proche du soleil et un d'autres moments un peu plus éloignée du soleil donc ceux ci ce sont des données moyennes et ce sont des valeurs très approché

Comment classer des très petits nombres avec des exposants négatifs ?

on va passer du très très grand au très très petit avec des cellules et des virus on a déterminé les dimensions de certaines cellules et virus donc diamètre d'un virus \( 5.5 \times 10^{-3} \) mm diamètre d'une cellule animal \( 5 \times 10^{-2} \) mm etc et on voudrait donc rangé ses cellules et virus dans l'ordre croissant de leur dimension c'est à dire qu'on va comme tout alors commencé par chercher les plus petit nombre dans la liste de ces trois nombres

alors comme tout à l'heure on va le faire en deux temps en commençant par s'attaquer à la puissance de 10 et plus précisément à son exposé en regardant les exposants de nos cellules et virus qu'est ce qu'on a on a du moins 3 du moins 2 et du moins de clairement moins 3 c'est le plus petit ce qui signifie que sans même regarder le nom qu est un facteur devant \( 5 \ 5 \times 10^{-3} \) est le plus petit de ces trois nombres c'est à dire c'est le virus le plus petit ensuite alors on se retrouve donc avec des exposants ego \( 10^{-12} \) \( 10^{-2} \) qu'est ce qu'on va faire et bien on va regarder le nombre qui est un facteur devant on a quoi on a 5 et 8 5 et bien très bien \( 5 \times 10^{-2} \) est plus petit que \( 8,5 \times 10^{-2} \) vient ensuite la cellule animal est enfin bien évidemment \( 8,5 \times 10^{-2} \) la cellule végétale

A quoi sert l'écriture scientifique en mathématiques ?

ceci est donc rangé dans l'ordre de leur dimension et tu comprends maintenant pourquoi cette notation s'appelle la notation scientifique parce qu'elle est très utilisée par les scientifiques c'est extrêmement pratique pour un scientifique d'arriver à lire très facilement et très simplement un ordre de grandeur d'un nombre d'un d'une distance d'une dimension etc pour des noms qui sont très très grand ou très petit imagine si on devait écrire ce nombre en deux façons décimales eh bien il aurait neuf caractère ce qui est très difficile à lire et ce qui est très compliqué pour les scientifiques lorsqu'ils veulent par exemple comparer des nombres alors que là c'est extrêmement remplie tu l'as compris déjà il suffit de regarder ici les puissances de 10 et on a déjà fait un pré tri et puis pour tous les autres si on veut affiner on regarde la partie du nombre de devant qui est donc en facteur de notre puissance de 10 cette séquence est terminée