Simplifier une fraction par décomposition en facteurs premiers

Comment simplifier une fraction avec la décomposition en facteurs premiers en 4ème ?

bonjour dans cette vidéo nous allons apprendre à simplifier une fraction et pour cela nous allons utiliser une décomposition en produits de facteur premier alors la fraction qu'on voudrait simplifier c'est la suivante \[ \frac{153}{85} \]

dans l'idéal on aimerait écrire \(153\) et \(85\) en produits pourquoi ça de cette façon là on pourrait peut-être avoir la chance de trouver un facteur en eau est un facteur en bas donc au numérateur et au denim un dénominateur qui serait égal et si son égal je pourrais m'en débarrasser pour obtenir une fraction plus simple on va le voir dans les détails

commençons déjà par des composés \(153\) le numérateur et \(85\) le dénominateur en produits de facteur premier

Comment décomposer un nombre en produit de facteurs premiers ?

voilà alors j'ai préparé donc les deux des compositions je vais un peu plus vite ici sur la décomposition il existe une autre vidéo que tu pourra visionner dans laquelle j'explique plus en détail le principe de la décomposition en produits de facteur premier

commençons par \(153\) pour cela j'ai donc afficher la liste des nombres premiers dans l'ordre croissant et on va commencer par tester \(2\) est-ce que \(153\) est divisible par deux non puisque \(153\) est un père donc il n'est pas divisible par deux

est-ce que \(153\) est divisible par trois pour cela on va essayer le critère de divisibilité par trois qui nous dit que en faisant la somme des chiffres si le résultat est divisible par trois c'est bon le nombre est divisible par trois alors qu'est ce qu'on sait de \(150\ 353\) donc \(1 + 5 + 3\) ça nous donne \(9\)

or \(9\) est divisible par trois ce qui veut dire que \(153\) aussi et \(153 \div 3\) ça fait combien à \(150 \div 3\) ça c'est facile c'est \(50\) mais j'ai \(153\) donc j'ai encore \(3 \div 3\) \(3 \div 3\) ça fait \(1\)

donc finalement le tout fait \(50\) et on poursuit

est-ce que \(51\) est divisible par trois montes +22 a été testé au départ donc on ne revient plus

\(51\) wii est divisible par trois pour les mêmes raisons tout à l'heure je fais \(5 + 1\) qui me donne \(6\) \(6\) est divisible par \(3\) \(51\) également \(51\) divisée par \(3\) ça nous fait \(17\) très bien mais \(17\) c'est un nombre premier on le voit il est dans la liste

ce qui veut dire que je n'ai pas besoin de tester les nombreux premiers suivant comme \(5\) comme \(7\) et c'est pourquoi parce que \(17\) étant un nombre premier inédit visibles que par lui même est un donc un nous intéresse pas on va s'occuper lui-même \(17 \div 17\)

ça renvoie \(1\) la décomposition est terminée on peut donc écrire que \(153\) est égal à je prends la colonne de droite \[ 3 \times 3 \times 10\ 7 \] voilà la décomposition de \(153\) en produits de facteur premiers

Comment savoir si un nombre est divisible par 2, 3 ou 5 ?

ont fait de même avec \(85\) et on y va

\(85\) est-il divisible par deux non il est un père \(85\) est-il divisible par \(3\) \(8\) et \(5\) \(13\) \(13\) n'est pas divisible par \(3\), \(85\) non plus je poursuis \(85\) est-il divisible par cinq

alors là oui \(85\) et bien divisible par cinq et ça fait combien bien déjà dans \(50\) j'en ai \(10\) \(50\) il m'en reste \(35\) dans \(35\) j'en s est donc finalement en tout j'en ai dix plus \(7\), \(17\) bien tiens \(17\) ça nous dit quelque chose et oui on l'a déjà traité \(17\) est un nombre premier qui n'est que divisible par un est lui même

on a donc terminé notre décomposition en produits de facteur premier \(85\) est donc égale à \[ 5 \times 17 \]

Comment rendre une fraction irréductible en barrant les facteurs communs ?

on a ainsi deux des compositions on va pouvoir écrire notre fraction \(\frac{153}{85}\) d'une autre manière

eh bien je vais utiliser la décomposition de \(153\) soit \(3 \times 3 \times 10\ 7\) le tout sur la décomposition de \(85\) \(5 \times 17\)

et là on voit qu'on trouve un facteur \(17\) au numérateur et un facteur \(17\) au dénominateur comme je l'avais annoncé au début ce qui veut dire qu'on va pouvoir s'en débarrasser car on ne change pas une fraction lorsqu on multiplie son numérateur et son dénominateur par un même nombre donc en faisant marche arrière

je peux me débarrasser de ces deux facteurs il me reste quoi il me reste \(3 \times 3\) au numérateur et simplement \(5\) au dénominateur \(3 \times 3\) on peut l'effectuer soit \(\frac{9}{5}\) au final on a que \(\frac{150\ 3}{85}\) est égal à \(\frac{9}{5}\) on a trouvé là une fraction égale à \(\frac{153}{85}\) et qui en plus est beaucoup plus sympa car plus lisible cette séquence est terminée