Déterminer les nombres premiers compris entre 20 et 50

Comment savoir si un nombre est premier en 4ème ?

[Musique] bonjour dans cette vidéo tu vas pouvoir apprendre à déterminer des nombres premiers plus précisément ici on voudrait tous les nombres premiers qui sont compris entre \(20\) et \(50\) alors avant de s'attaquer à la recherche des nombres premiers il faudrait déjà rappelé ce que c'est qu'un nombre premier on dit qu'un nombre est premier s'ils possèdent exactement \(2\) diviseur qu'ils sont sains et lui même je prends par exemple \(3\) \(3\) est effectivement divisible par \(1,3\) et effectivement divisible par lui-même c'est-à-dire \(3\) et \(3\) n'a pas d'autre diviseur donc \(3\) et bien un nombre premier est ce que cette règle la marche avec \(6\) alors \(6\) est divisible par un \(6 / 1\) ça marche bien d'ailleurs ça marche bien pour tout entier tous les entiers sont divisibles par un ace qu'il est divisible par lui-même bien évidemment comme tout entier il est aussi divisible par lui-même mais six ans à d'autres par exemple \(3\) et wii \(6 / 3\) ça donne de donc \(6\) est divisible par trois et du coup ci c'est aussi divisible par deux ce qui signifie que \(6\) à \(1\) \(2\) \(3\) \(4\) diviseur un élu m compris mais nous on n'en veut exactement \(2\) pour que ça soit un nombre premier donc si ce n'est pas un nombre premier en fait un nombre premier c'est un nombre que je ne peux pas décomposés en produits autrement que \(1 \times\) lui même or si ce je peux l'écrire \(2 \times 3\) et bien là on a une des compositions qui est composé de nombres entiers autre que \(1\) et \(6\) donc si ce n'est pas un nombre premier par contre trois je ne peux pas le décomposer en un produit dentier autrement que une fois \(3\) alors voilà ce que c'est que un nombre premier

Pourquoi 1 n'est pas un nombre premier ?

est ce si ça induit quelque chose tout de suite d'original c'est que le premier nombres premiers ce n'est pas un ces deux en effet un est divisible par un bien sûr il est divisible par lui même c'est à dire par un mais ceci fait que \(1\) n'a qu'un seul diviseur puisque dans les deux cas c'est un or un nombre premier à \(2\) diviseur donc un n'est pas un nombre premier voilà

Comment utiliser le crible d'Ératosthène pour trouver les nombres premiers ?

alors nous on voudrait établir la liste des nombreux comptes premier compris entre \(20\) et \(50\) alors ce qu'on va faire c'est que voilà on va utiliser une technique qui s'appelle le crible d'eratosthène et on va au fur et à mesure éliminez tous les nombres qui ne sont pas premiers et ceux qui restent et ben forcément ça sera les nombres premiers voilà donc j'ai écris ici tous les nombres entiers naturels inférieur à \(50\) est ce qui nous intéresse et ceux qui sont dans cette zone là puisque c'est dans cette zone là que je dois chercher des nombres premiers mais en fait on va aller au delà on va chercher tous les nombres premiers qui sont inférieures à \(50\) alors y'en a que je peux déjà éliminé c1 on a dit tout à l'heure que \(1\) mais pas premier ça tout simplement parce qu'il n'a qu'un seul diviseur le premier nombres premiers ces deux on en a déjà trouvé un et à partir de là tous les multiples de \(2\) forcément ne seront pas premier si je prend \(4,4\) se décompose en \(2 \times 2\) puisque \(4\) est divisible par deux à partir de là je sais que quatre vingt premiers si je prends \(6\) on l'a vu tout à l'heure si c'est effectivement divisible par deux ce qui veut dire que si ce peut s'écrire \(2 \times 3\) il aura comme diviseur \(2\) \(3\) puis \(1\) puis \(6\) etc donc si ce n'est pas premier et à partir de là n'importe quel nombre qui est divisible par deux peut s'écrire comme deux fois quelque chose donc à coup sûr il ne sera pas premier puisqu'on a dit que les nombres premiers ne peuvent se décomposer qu'on produit \(2\) \(1 \times\) lui même alors ce qui veut dire que je vais chercher là maintenant tous les multiples de dollars c'est assez facile parce que ça fonctionne en colonne la g2 l'ag \(12\) \(22\) \(32\) \(42\) tout cela sont des multiples de deux je peux les élimine à coup sûr ils ne sont pas premiers et je peux faire pareil avec la colonne de \(4\) est éliminé ici donc tous ces multiples \(2\) puis le \(6\) puis le \(8\) puis la colonne de \(10\) alors on a déjà fait sacrément le ménage parce que on a en fait enlever la moitié des nombres on va poursuivre avec le suivant ces \(3\) \(3\) est un nombre premier on l'avait vu tout à l'heure ce qui signifie comme on l'a fait avec deux que n'importe quel multiple de \(3\) forcément n'est pas premier alors je pense d'abord à \(6-6\) a déjà été rayée tout à l'heure en tant que multiple de \(2\) bon par contre \(9\) on n'en avait pas parlé et \(9\) c \(3 \times 3\) \(3 \times 3\) on l'a compris donc c'est une décomposition avec \(2,3\) donc neuf n'est pas premier ensuite après neuvien \(12\) on lui avait déjà réglé son compte également puis \(15\) puis \(18\) puis \(21\) \(24\) \(27\) \(30\) on continue \(33\) à chaque fois je rajoute \(3\) \(36\) \(39\) puis arrive \(40\) \(2,45\) et \(48\) et on poursuit on trouve un nouveau nombres premiers qui est \(5\) tous les multiples de \(5\) c'est facile on sait qu'un nombre est divisible par \(5\) s'il se termine par \(5\) ou \(0\) ce qui fait qu'on va trouver ici tous les multiples de \(5\) qui se termine par cinq je peux rayer \(25\) \(35\) et également ici mais ils sont tous rayé déjà tous ceux qui se termine par \(0\) on continue avec les multiples de \(7\) alors là la technique consiste à parcourir la table de \(7\) c'est parti \(7,14\) c'est déjà fait \(21\) c'est déjà fait \(28\) également \(35\) également \(42\) également mais il nous restait \(49\) qu'on n'avait pas éliminé et voilà on en gagne \(1,11\) est également un nombre premier on peut l'entouré et ses multiples c'est facile on le connaît bien on connaît la table de \(11\) c'est \(11\) \(22\) \(33\) \(44\) c'est à dire \(1\) \(1\) \(2\) \(2\) \(3\) \(3\) \(4\) \(4\) et on la trouve ici en diagonale mais on avait déjà fait le travail \(11\) est tout seul ici \(22\) \(33\) \(44\) avait déjà été rayés

Comment savoir quand s'arrêter dans le crible d'Ératosthène ?

alors on ne va pas aller plus loin en réalité on est déjà allé un cran trop loin on l'a constaté à l'instant avec \(11\) puisque on n'a pas déterminé de nouveau nombreux premiers et on pourrait poursuivre avec \(13\) qui était également un nombre premier \(17\) etc eh bien on ne trouverait plus ici de nombres qui n'est pas premier tous ceux qui ne sont pas payés ici sont des nombres premiers en fait il suffit de s'arrêter dès que le nombre avec lequel on travaille un carré qui dépasse ici la limite du tableau alors le carré de \(11\) passes et ces \(120\) tiens ça dépasse très largement \(50\) donc c'était pas la peine de tester \(11\) donc c'est pas la peine de tester les autres non plus on sait qu'on a fini et on sait que tous les nombres qui restent ici sont des nombres premiers

Quels sont les nombres premiers compris entre 20 et 50 ?

alors ce qui nous intéressait nous c'est lé nombre compris entre \(20\) et \(50\) et du coup on voit qu'il nous en reste sept qui sont \(23\) \(29\) \(31\) \(37\) \(46\) a \(43\) \(47\) et cette séquence est terminée