Calculer un volume par agrandissement ou réduction

Comment calculer l'aire d'un triangle rectangle ?

[Musique] bonjour dans cette vidéo tu vas apprendre à appliquer les propriétés sur les agrandissements et les réductions bien alors voilà un exercice donc pour alléger son énoncé j'ai volontairement tout codé sur la figure donc je vais expliquer cette figure rapidement on te donne donc une pyramide qui se nomme sa AC donc pyramide dont la base est un triangle rectangle on voit ici on a le petit angle en perspective de notre triangle rectangle donc la base est un triangle rectangle rectangle en C et les côtés de l'angle droit mesurent respectivement 4 et 5 cm alors cette pyramide a pour hauteur l'arête SC on le voit ici l'angle droit et l'arrête SC mesure 8 cm voilà pour l'instant j'en dis pas plus puisque la première question nous demande de calculer le volume de la pyramide SABC on verra après ce qu'il en est pour le plan de coupe bien calculons le volume de cette pyramide pour cela et bien on a des formules des formules sur les air et volume qui nous disent et bien qui nous disent que lorsqu'on a un volume à calculer on commence toujours par calculer l'air de la base et ensuite on applique la formule générale pour le volume bien la base c'est quoi la base c'est un triangle l'air d'un triangle se calcule par la formule base fois hauteur divisé par 2 donc ici il s'agit donc de l'aire du triangle ABC je rappelle la formule donc base fois mince fois hauteur sur 2 alors la base et la hauteur bon c'est un triangle rectangle donc on peut inverser la nature des deux objets ça pas d'importance on peut considérer que la base fait 5 et dans ce cas-là la hauteur correspondante fait 4 soit \( 5 \times 4 \div 2 \) alors \( 5 \times 4 = 20 \) div 2 \( 10 \text{ cm}^2 \) voilà donc pour l'air de la base de notre pyramide

Quelle est la formule pour calculer le volume d'une pyramide en 4ème ?

le volume volume d'une pyramide bien la formule nous dit que pour les solides qui sont pointus type pyramide et cône tu fais l'air de la base donc ce qu'on a multiplié par la hauteur du solide divisé par 3 ça c'est pour les solides pointus quand c'est des solides droits du type par exemple un cylindre c'est simplement R de la base fois hauteur point ici donc solide pointue R de la base donc volume de notre pyramide sac R de la base multiplié par la haute hauteur de la pyramide le tout divisé par 3 alors R de la base on vient de la calculer c'est 10 hauteur de la pyramide elle est donnée ici c'est 8 le tout divisé par 3 bien on calcule ça cela donne donc \( \frac{80}{3} \text{ cm}^3 \) bon on pourrait donner une valeur approchée mais \( \frac{80}{3} \) voilà c'est une bonne réponse c'est une valeur exacte he \( \frac{80}{3} \text{ cm}^3 \) pour l'air euh pardon pour le volume de notre pyramide sac

Comment savoir s'il s'agit d'un agrandissement ou d'une réduction ?

donc passons maintenant au volume de la pyramide S \( A'B'C' \) alors pour cela je vais continuer à expliquer la figure donc on imagine ici qu'on a fait une coupe une coupe euh donc parallèle ici à la à la base euh de notre pyramide une coupe de la pyramide à une hauteur de 3 cm par rapport au sommet bien du coup on fait apparaître un triangle semblable au triangle de base et ce triangle donc on l'a nommé \( A'B'C' \) à partir de là et bien on a ici une nouvelle petite pyramide la pyramide S \( A'B'C' \) c'est cette pyramide là euh qu'on qu'on voudrait calculer enfin don dont on voudrait obtenir le volume alors pour cela et bien on va utiliser des propriétés sur les agrandissements et réductions qui vont nous permettre directement d'obtenir le volume de la petite pyramide à condition un d'avoir le volume de la grande et de de connaître le coefficient qui fait passer de la petite pyramide à la grande pyramide ou de la grande à la petite tout dépend si on parle de réduction ou d'agrandissement alors dans le cas présent on parle de quoi bon et bien je connais la grande je cherche la petite donc on va passer de la grande à la petite il s'agit donc ici d'une réduction c'est une réduction

Comment calculer le coefficient de réduction d'une pyramide ?

reste à calculer le coefficient de réduction car si je si je pardon si j'ai le coefficient de réduction je vais pouvoir en déduire le volume de ma petite pyramide grâce à une propriété qu'on peut rappeler cette propriété nous dit que si les longueurs sont multipliées par \( k \) dans ce cas-là les air sont multiplié par \( k^2 \) et les volumes sont multipliés par \( k^3 \) \( k \) étant le coefficient d'agrandissement ou de réduction donc il faudrait déterminer ce coefficient parce que si j'ai ce coefficient il faudra juste que je multiplie l'ancien volume par \( k^3 \) puisque là ça concerne donc euh un calcul de volume si j'avais un calcul d'air je multiplierai par \( k^2 \) bon donc quel est ce coefficient de réduction comment trouver ce coefficient de réduction la technique consiste à euh trouver sur mon dessin de longueur qui se correspondent entre le petit et le grand et d'en faire le rapport de regarder le rapport qu'il y a entre et bien une longueur sur la petite pyramide et une longueur sur la Grande Pyramide donc il faudrait trouver sur la petite et la grande de longueur que je possède et bien c'est clair il y en a une de longueur je possède sur la petite et la grande c'est la hauteur je connais la hauteur de la petite qui est 3 cm je connais la hauteur de la grande pyramide qui est de 8 cm à partir de là et bien je vais pouvoir en déduire le coefficient de réduction \( K \) qui sera donc égal à SC prime la hauteur de la petite pyramide sur SC la hauteur de la Grande Pyramide soit \( \frac{3}{8} \)

Comment savoir si le coefficient correspond à une réduction ou un agrandissement ?

voilà le coefficient de réduction qui me fait passer de la grande pyramide à la petite pyramide alors souvent euh on a du mal à savoir si c'est dans ce sens-là qu'il faut le faire ou si c'est dans l'autre sens parce que finalement j'ai pris SC prime sur SC mais j'aurais pu prendre SC sur SC prime pourquoi j'ai pris SC pourquoi j'ai pris le rapport de la petite sur la grande et pas le rapport de la grande sur la petite hein et bien tout simplement parce que j'ai dit ici que je voulais une réduction si j'avais voulu un agrandissement j'aurais pris l'autre rapport le rapport de la grande sur la petite c'est facile à voir regarde quand tu fais \( 3 \div 8 \) le rapport \( \frac{3}{8} \) ça va me donner du 0, quelque chose donc 0 quand on multiplie par 0 vir quelque chose qu'est-ce qui se passe ça réduit c'est bien ici une réduction alors que si je prends l'autre rapport si admettons que je me sois trompé je prends \( \frac{8}{3} \) bah \( \frac{8}{3} \) ça va me donner du 2 vir quelque chose donc si je multiplie par 2 vir quelque chose qu'est-ce qui se passe ça va s'agrandir donc là je ne suis pas en train de parler de réduction moi j'ai dit que je voulais une réduction donc le bon rapport est bien \( \frac{3}{8} \)

Comment calculer un volume après un agrandissement ou une réduction ?

alors voilà j'ai donc trouvé une longueur sur la petite qui correspond à une longueur sur la grande j'en ai fait le rapport j'en ai déduit mon coefficient de réduction et bien à partir de là c'est du gâteau j'applique ma propriété qui me dit directement le volume de la petite S \( A'B'C' \) est égal à et bien \( \left(\frac{3}{8}\right)^3 \) multiplié par \( k^3 \) fois le volume de la grande si le rapport est de \( \frac{3}{8} \) si les longueurs sont multipliées par \( K \) les volumes sont multipliés par \( K^3 \) pour le reste c'est du calcul soit \( \left(\frac{3}{8}\right)^3 \) multiplié par \( \frac{80}{3} \) bien

Comment simplifier des fractions pour trouver un volume exact ?

alors pour le reste c'est du calcul c'est du calcul donc on pourrait si on le souhaite donner une valeur approchée ou alors rester en valeur exacte en valeur exacte c'est un tout petit peu plus compliqué bien on va le faire en valeur exacte c'est pas trop long non plus ici donc j'ai \( 3^3 \) multiplié par 80 le tout s je mets sous une même fraction \( 8^3 \) multiplié par 3 bien comme ça ici là je vais pouvoir simplifier en diagonale en haut il va me rester \( 3^2 \) et en bas bah il me reste 1 donc il me reste plus rien donc c'est bon donc ici j'ai \( 8^2 \) bien on va s \( 8^3 \) pardon on va séparer notre \( 8^3 \) en \( 8^2 \times 8 \) comme ça en haut je sépare mon 80 en \( 8 \times 10 \) je peux comme ça me débarrasser d'un 8 et d'un 8 il me reste donc quoi ici il me reste \( 3^2 \times 10 \) \( 3^2 \) ça fait 9 \( 9 \times 10 \) ça fait 90 en bas il me reste \( 8^2 \) \( 8^2 \) ça fait 64 voilà bon la seule chose qu'on peut faire ici c'est simplifier encore un coup \( \frac{90}{64} \) cela va me donner je vais écrire la réponse ici et bien \( \frac{45}{32} \text{ cm}^3 \) alors dans 45 j'ai du 5 j'ai du 3 bon dans 32 j'ai ni 5 ni 3 on va donc pas pouvoir simplifier plus c'est la réponse \[ \frac{45}{32} \text{ cm}^3 \] et cette séquence est terminée y