Résoudre un problème à l'aide du cosinus

Comment utiliser le cosinus pour résoudre un problème en 4ème ?

[Musique] bonjour dans cette vidéo tu vas pouvoir apprendre à résoudre un problème en utilisant le cosinus que nous dit l'énoncé pour descendre de sa cabane construite dans un arbre car en glisse le long d'une l''iran on suppose que cette liane et rectiligne bien entendu et rectiligne de cette façon là on peut l'assimiler à un segment on va en avoir besoin évidemment ce sera le le côté d'un triangle on suppose également que une extrémité de la liane fx est donc en haut à la cabane et l'autre est ancré dans le sol donc comme ses marques et donc sur le schéma la liane et anglais on suppose ensuite que l'arbre est perpendiculaire avec le sol alors ça c'est également codée sur le schéma on voit au pied de notre arbre un petit angle droit la cabane est à \(12\) mètres de hauteur et l'angle que fait la liane avec le tronc de l'arbre et de \(31^\circ\) sachant tout ceci il est possible de calculer la longueur de la liane et pour cela donc comme annoncé oui on va utiliser le cosinus

Comment savoir si on peut utiliser le cosinus dans un triangle ?

alors en quoi le cosinus et pertinent ici pourquoi ici on peut calculer le cosinus il ya déjà deux choses deux indications la première c'est que on va effectivement travailler dans un triangle rectangle on pourrait déjà lui donner un nom à ce triangle rectangle enfin en particulier des noms a certes un sommet parce que c'est pas fait dans l'énoncé donc c'est à nous de prendre l'initiative de le faire donc on va appeler donc le point d'ancrage donc sur la cabane à la houille à l'angle droit dont coop les pieds de l'arbre va nommer le sommet \(B\) et enfin le troisième donc dans l'ancrage de la liane dans le sol on va l'appeler \(C\) et donc on a un triangle \(ABC\) qui est rectangle en \(B\) ça c'est une première indication qui peut nous faire penser à l'application du caussinus une deuxième indication c'est l'angle il ya quand même un angle qui est donné et on sait que le cosinus justement s'applique sur un angle du triangle rectangle donc là il ya toutes les chances que le cosinus puisse fonctionner d'autant plus qu'on nous demande de calculer une longueur la longueur de la ligue et qu'avec le cosinus justement je suis en mesure de calculer une longueur

Quelle est la formule du cosinus d'un angle aigu ?

alors on va déjà résumé toutes ces indications là avant de de l'appliquer le cosinus donc sur un des angles de notre triangle rectangle le triangle \(ABC\) et rectangle en \(B\) on connaît la longueur \(AB\) la hauteur donc dutronc \(12\) et on connaît l'angle \(BAC\) donc formée entre la liane et le tronc \(31^\circ\) maintenant donc on voudrait appliquer notre caussinus alors évidemment il ya toutes les chances qu'on a plus que le cosinus sur l'angle de \(31^\circ\) mais c'est pas sûr des fois il faut aller chercher le cosinus ailleurs alors ici oui c'est pertinent de l'appliquer sur l'angle de \(31^\circ\) pourquoi parce que le cosinus d'un angle est égal aux côtés adjacent un autre angle sur l'hypothénuse c'est ce qui est noté ici

or quand je regarde mon schéma eh bien je vois que justement la hauteur du tronc c'est à dire la longueur \(AB\) est un côté adjacent au à l'angle de \(31^\circ\) et en plus les potées news qui est donc la liane qui correspond à la liane c'est le côté que je veux calculer ce qui veut dire que c'est vraiment la situation idéale puisque j'ai toutes les informations autour de l' angle là où je vais appliquer le cosinus et j'ai même le côté que je veux calculé qu'ils se trouvent également adjacent à mon angle puisque c'est l'hypothénuse donc vraiment ici qui a pas à réfléchir trop longtemps on va appliquer le cosinus sur l'angle \(BAC\)

alors allons-y appliquons ce caussinus alors pour l'instant on va l'écrire avec le nom des sommets de notre figure \[ \cos(\widehat{BAC}) = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}} \] alors comme je l'aï dit tout à l'heure l'hypoténuse est également adjacente à l'angle mais l'hypothénuse c'est l'hypoténuse donc quand je dis dans la formule adjacent sur epoté n'use celui dans au numérateur ladja sans celle adjacente qui n'est pas à l'hypothèse donc elle va caler le côté adjacents qui n'est pas l'hypothénuse évidemment c'est le tronc de l'arbre donc c'est le côté \(AB\) donc là au numérateur je vais m \(AB\) forcément du coup l'autre côté l'autre côté adjacent donc c'est le grand côté c'est la liane c'est le côté \(AC\) c'est notre hypothèse \[ \cos(\widehat{BAC}) = \frac{AB}{AC} \] ça c'est la formule contextualiser à notre exercice

Comment calculer la longueur d'un côté avec le cosinus et le produit en croix ?

étape suivante on remplace toutes les mesures connues alors des as et je connais ses \(31\) saf écosse de \(31^\circ\) égal \(AB\) je connais ses douze \(12\) sur \(AC\) je connais pas forcément c'est la liane donc je garde \(AC\)

alors enfin compte ici c'est une mini équation mais on va pas la résoudre sous forme d'une équation va plutôt utilisé une relation de proportionnalité je vais faire c'est que là à gauche sous le manque de gauche je vais rajouter un rapport genest sur un comme ça l'âge et l'égalité 2-2 rapport et on peut considérer la con un petit tableau de proportionnalité je connais \(12\) je connais \(\cos(31^\circ)\) c'est un nombre on va le voir on pourra le calculer avec la calculatrice je connais \(1\) et je cherche \(AC\) bien produit en croit et on va obtenir \(AC\)

c'est assez simple je multiplie sur la diagonale comme nous fait penser le symbole de multiplication ça fait donc \(12 \times 1\) et je divise sur la colonne comme nous fait penser le symbole de division / \(\cos(31^\circ)\) et ça c'est quoi bas c'est justement le quatrième nombre celui qu'on cherche \(AC\) \[ AC = \frac{12 \times 1}{\cos(31^\circ)} \]

alors \(12 \times 1\) évidemment ça fait \(12\) je l'écris juste pour faire apparaître le produit en croit mais je vais simplement faire à la calculatrice \(12 / \cos(31^\circ)\) et là on trouve un nombre alors un nombre assez étonnant on est très très proche de \(14\) on va même gardé \(14\) comme réponse a \(13,9996\) et c'est donc on va dire environ \(14\) \(AC\) est donc environ égal à \(14\) et bien c'est terminé on l'a la longueur de nos clients elle est environ de \(14\) mètres la liane mesure environ \(14\) mètres et cette séquence est terminée