Calculer une longueur à l'aide du cosinus (2)
Dans quel triangle peut-on utiliser le cosinus ?
[Musique] bonjour dans cette vidéo tu vas pouvoir apprendre à calculer une longueur en utilisant le cosinus donc ici on nous demande de calculer la hauteur d'une maison au mètre près et pour cela bien on a quelques données on connaît la longueur de la base de la maison donc de la façade qui fait neuf mètres la hauteur des murs qui fait si m et donc on voit que pour obtenir la hauteur de toute la maison il nous manquerait encore la hauteur du toit mais par contre on a un angle on à l'angle que fait le toit avec l'horizontale et celui ci fait un angle de \(35\) degrés alors comme et donner les noms c'est pas facile de parler des différents éléments de notre figure il serait bien sans doute de donner des noms à certains sommet de la figure alors avant cela il faudrait déjà savoir dans quelle zone de notre figure on va travailler et pour cela et a comme on l'a dit on va utiliser le cosinus et or a rappelé comment fonctionne le cosinus dans un triangle rectangle car oui le cosinus s'applique nécessairement dans un triangle rectangle
Quelle est la formule du cosinus dans un triangle rectangle ?
alors sans trop rentrer dans les détails on peut rappeler comment fonctionne notre caussinus notre caussinus et bien il est lié par une formule qui fait correspondre angles et longues heures dans un triangle rectangle un triangle rectangle comme on vient de le dire et c'est très pratique parce que à partir de là lorsqu'on connaît certaines longueurs dans un triangle rectangle on peut obtenir des angles dans notre triangle ou l inverse si on connaît une longueur et un angle on peut obtenir d'autres longueurs on va le voir alors le cosinus d'un an fonctionne de cette façon là quand on considère le cosinus d'un angle ici donc l'angle marqué en noir est bien celui ci est égal à son côté adjacent sur l'hypoténuse allons le côté adjacent c'est quand on dit adjacent c'est à côté donc c'est un des côtés qui forment l'angle alors en réalité il y a deux côtés qui forment l'angle il y a celui qu'on appelle le côté adjacents qui est à côté de l'angle droit et l'hypoténuse qui est le côté le plus grand de notre triangle rectangle donc on peut pas se tromper et le rapport c'est la dja 100 ans au numérateur sur les peaux telus en bas donc comment utiliser le cosinus la première des choses à faire c'est de repérer l'angle avec lequel on va travailler et ensuite de prendre les deux côtés qui forment cet angle et de m oh le petit est en bas le grand c'est à dire en eau au numérateur ladja sens et en bas au dénominateur l'hypothénuse
Comment calculer une longueur avec le cosinus en 4ème ?
donc c'est ça qu'on va tenter d'appliquer dans notre exercice alors on voit qu'on a un angle de \(35\) degrés qui se trouve justement dans un triangle rectangle donc tout à l'heure quand je disais qu'il faudrait donner des noms à certains sommet de la figure on comprend bien que dans l'idéal est bien il faudrait des noms au sommet de ce triangle rectangle donc on va le nommer on va le nommer a baissé avec l'angle de \(35\) degrés et à l'angle droit en \(B\) et à partir de là on va essayer et bien d'appliquer notre caussinus puisqu'on voit qu'on a des informations sur des longueurs et des angles dans le but de calculer quoi et bien dans le but de calculer la hauteur du toit c'est à dire concrètement ici la longueur baisser si j'arrive à obtenir la longueur baisser et bien c'est bon j'aurai plus qu'à faire six mètres plus de longueur baisser et j'aurai la hauteur de toute la maison mais comment obtenir cette longueur baisser alors on pourrait tenter d'appliquer notre caussinus sur l'angle de \(35\) degrés ça ferait intervenir quel côté donc ça nous ferait du caussinus de l'angle à égal adjacent à \(B\) / epoté n'use \(AC\) c'est un peu embêtant ça parce que finalement nous ce qu'on voudrait c'est calculé la hauteur qu'ils aient baisser alors que va-t-il se passer si j'applique quand même mon caussinus sur l'angle de \(35\) degrés \(AB\) abeba en fait \(AB\) je connais on voit sur le bas de la maison que toute la longueur de la maison fait neuf mètres longueur de la façade or on voit que on coupe perpendiculairement au milieu de ce cette base de maison du coup en reportant cette longueur donc de la moitié de \(9\) mètres c'est à dire de \(4,5\) on a en fait que \(AB\) est égal à \(4,5\) donc j'ai mon angle de \(35\) degrés et j'ai un bep qui fait quatre-cinq l'hypoténuse dupe au tennis c'est quoi c'est \(AC\) alors cette longueur ça c'est en fait la longueur ou plutôt la largeur du toit celle ci je ne la connais pas et je pourrais la calculer mais bon ça nous donne pas la hauteur baissé de la maison puisque nous voudraient calculer la hauteur baissé de la maison mais en fait regardons un peu si je connais dans mon triangle rectangle abaisser la longueur à \(B\) c'est-à-dire un côté de l'angle droit si je connais la longueur de l'hypothénuse c'est à dire la longueur à \(C\) est bien sur trois côtés j'en connais deux dans un triangle rectangle on sait que à l'aide du théorème de pythagore si on connaît deux côtés on peut toujours calculé le troisième donc en fin de compte le fait de pouvoir calculer \(AC\) c'est pas si mal ça va nous permettre ensuite à l'aide de pythagore de pouvoir calculer la hauteur de notre maison
Comment trouver la longueur de l'hypoténuse avec le cosinus ?
donc on va appliquer l'autre signe sur l'angle de \(35\) degrés comme on l'a dit cause de \(35\) égal à \(AB\) sur \(AC\) alors on rappelle que notre triangle abc et rectangle en \(B\) puisque ça c'est une conti condition qui est nécessaire pour pouvoir faire le calcul de cosinus et appliquer notre formule sur le cosinus alors ça nous donne quoi on va commencer par être l'un formule mais avec les noms des sommets soient caussinus de l'ange bleu à est égal à le côté adjacent c à b / l'hypoténuse c'est assez et ensuite on reprend cette formule en remplaçant toutes les mesures connues donc la mesure de l'angle on a dit qu'elle est de \(35\) degrés égal à \(AB\) alors la longueur \(AB\) on a vu tout à l'heure que c'est la moitié de la base de la maison soit \(4,5\) sur la longueur assez ça c'est notre hypothèse eu ce qu'on souhaiterait calculé pour ensuite avec pythagore obtenir la hauteur de la maison on voit là qu'on a une petite équation dont on a une inconnue qui est assez on va donc arriver à calculer cette longueur alors un petit truc quand on a ce type de calcul à faire c'est d'envisager en fait que là on a une fraction causse \(35\) on peut tout j'ai toujours l'écrire comme coach \(35\) / \(1\) ce qui nous donne causse \(35\) sur un égal \(4,5\) sur a c'est pourquoi ces pratiques parce que à ce niveau là on se retrouve avec deux rapports qui sont égaux on peut faire marcher les règle de proportionnalité et en particulier ici utilisé la méthode de la 4è proportionnelle je connais trois valeurs je cherche la 4e ont fait donc le principe du petit produit en croix qui nous dit que \(AC\) est égale la quatrième je multiplie sur la diagonale comme nous le dit le symbole de multiplication soit \(4,5 \times 1\) ce pas la peine d'écrire fois \(1\) c'est juste pour s'en rappeler et je divise sur la colonne comme nous le dit le symbole de division / cos \(35\) degrés et on trouve alors environ \(5,49\) \(3,4\) bon et c'est alors l'énoncé nous dit d'arrondir au mètre près mais attention là on n'a pas fini on est seulement en train de calculer la longueur de l'hypothénuse c'est à dire la largeur du toit donc on sait que les erreurs d'arrondi se cumulent et peuvent provoquer une erreur un peu plus importante à un niveau plus haut donc par prudence on va aller jusqu'au centième comme ça on est vraiment tranquille et on va dire que \(AC\) et environ égal à \(5,49\) là au moins on ne risque rien donc on à la longueur assez
Comment calculer un côté avec le théorème de Pythagore ?
il nous reste maintenant à calculer la hauteur du toit c'est à dire la longueur baisser pour cela comme on l'a dit on allait utiliser le théorème de pythagore notre triangle et rectangle donc on peut utiliser pythagore donc on va pas rappeler que le triangle rectangle parce que c'est déjà écrit ici donc il n'y a pas de raison de les écrire une nouvelle fois donc on peut directement appliquée le théorème de pythagore alors on a l'hypoténuse au carré soit \(1\) c'est au carré égale la somme des carrés des deux autres côtés soit \(AB\) au carré plus baisser au carré on remplace maintenant par toutes les longueurs connu alors c'est là qu'on va passer on va le rapprocher avec notre \(5,49\) mais c'est pas grave toute façon on l'a dit vu qu'on veut arrondir au final vous mettre près là on est allé en fait jusqu'au cm donc on est vraiment tranquille donc on peut écrire \(5,49\) ou carré comme s'il va les rapprocher on change donc le symbole environ égal avait au carré on l'a déjà utilisé ses \(4,5\) donc \(4,5\) au carré plus baisser au carré ben ça c'est la hauteur de notre toit c'est celui qu'on cherche ce qui donne donc baisser au carré environ égal combien je dois rajouter à \(4,5\) au carré pour trouver \(5,49\) au carré bien il suffit de faire la différence soit \(59\) au carré moins \(4,5\) au carré si ceci te pose des difficultés je t'invite à visionner d'autres séquences qui concerne le théorème de pythagore en tout cas pour baisser car et il suffit donc de faire la différence d'écart et on y va la calculatrice alors on trouve environ \(9,89\) donc baisser carré et environ égal à \(9,89\) et une fois qu'on a le carré eh bien on peut obtenir baisser comment en passant à la racine carrée soient baisser égal et donc en saisissant la racine carrée de \(9,89\) donc on travaille toujours en valeur approcher ici on trouve environ \(3,144\) et cetera donc bon on peut mettre maintenant alors maintenant on pourrait déjà arrondir à l'unité puisque l'exercice est terminé donc on n'a qu'à mettre environ \(3,7\) environ \(3\) m on a donc la hauteur du toit qui est environ de \(3\) m
Comment arrondir un résultat au mètre près ?
arrondis donc au mètre près la hauteur de la maison et bien c'est le tout c'est à dire \(3\) + tracy être du mur fait neuf mètres la hauteur de la maison est environ égal à \(6\) mètres la hauteur du mur \(3\) mètres la hauteur du toit soit \(9\) m pour la hauteur totale de la maison cette séquence est terminée
