Prouver que deux programmes de calcul sont équivalents

Comment tester un programme de calcul avec un nombre en 4ème ?

[Musique] bonjour dans cette vidéo tu vas pouvoir apprendre à démontrer que deux programmes sont équivalents c'est à dire qu'il mène au même résultat quel que soit le nombre qu'on aurait choisi au départ alors justement ici on se donne deux programmes de calcul programme à programme b et on voudrait déjà dans la première question tester chacun de ces programmes avec un nombre qu'on aura choisi et voir si effectivement ça mène au même résultat c'est la conjecture qu'on va être garé prenons un nombre par exemple \( 7 \) et regardons ce qui se passe déjà pour le programme alors choisir un nombre donc cette le triplé c'est à dire je vais faire cet x \( 3 \) ce qui me donne \( 21 \) puis ajouter \( 17 \) on va donc faire \( 21 \) plus \( 17 \) ce qui me donne \( 38 \) voilà donc le résultat de sortie pour le programme a avec \( 7 \) je trouve \( 38 \) attaquons nous aux programmes b alors c'est parti donc on choisit bien évidemment cette sinon ça peut pas marcher il faut choisir le même nombre ensuite lui ajouter \( 5 \) je vais donc faire cette \( +5 \) qui me donne \( 12 \) multiplier le résultat par trois donc on est à \( 12 \) je fais donc \( 12 \times 3 \) ça ça fait \( 36 \) et enfin ajouter \( 2 \) donc je suis à \( 36,36 +2 \) égale à \( 38 \) alors on retrouve effectivement \( 38 \) et là on nous demande dans la question d'émettre une conjecture

Qu'est-ce qu'une conjecture en mathématiques ?

alors on rappelle ce que c'est qu'une conjecture conjectures et c'est affirmer quelque chose sans preuve c'est à dire on a envie de penser que c'est vrai certains exemples comme ici un exemple nous fait penser que c'est vrai mais on n'en est pas sûr on n'est pas certain que cela soit vrai pour n'importe quel nombre effectivement si je prends cette au départ je trouve la même réponse à la fin mais est ce que c'est vrai également pour \( 8 \) alors on pourrait essayer pour \( 8 \) parce que c'est vrai pour neuf bons pour essayer pour \( 9 \) est ce que c'est vrai pour \( 12,32 \) pour essayer enfin bon tu as compris qu'on va pas tous les essayer donc ça sera en l'objet de la deuxième question de prouver que c'est vrai pour n'importe quel nombre là ce qu'on fait à ce niveau là on va simplement émettre une conjecture c'est que les deux programmes mène au même résultat ils sont donc équivalent voilà donc on aimait la conjecture que les deux programmes mène au même résultat

Comment traduire un programme de calcul avec x en 4ème ?

provost ceux-ci prouvons que pour n'importe quel nombre choisi au départ à la fin je trouve le même résultat alors si on veut le prouver pour n'importe quel nombre il faut utiliser maintenant ce qui s'appelle du calcul littéral et donc il va falloir prendre un nombre inconnu on va lui donner un nom à ce nombre et on va l'appeler par exemple \( x \) peu importe on choisit \( m \) habituellement choisis \( x \) donc là on va dire qu'on choisit \( x \) et on va appliquer à nouveau le programme a et le programme b mais cette fois ci avec \( x \) choisi au départ alors allons-y programme à je choisis \( x \) ensuite le triplé je vais donc faire \( 3 \times x \) que je peux écrire tout simplement \( 3x \) \( 3 \times x \) et bien le triple de \( x \) puis ajouter \( 17 \) donc j'en suis à \( 3x \) et je vais rajouter \( 17 \) ça me fait donc \( 3x \) plus \( 17 \) voilà le résultat du programme a en choisissant \( x \) au départ on trouve à la fin \( 3x + 17 \) \( 3 \times x + 17 \)

programmes b de même on choisit \( x \) au départ ensuite lui ajouter \( 5 \) donc je fais \( x + 5 \) un bon nombre de départs je rajoute cinq multipliaient le résultat par trois attention le résultat c'est tout ça donc ce que je dois x \( 3cx +5 \) il faut penser à rajouter des parenthèses \( x + 5 \) le résultat que je multiplie par trois et on termine ajoutez \( 2 \) donc j'en suis à trois facteurs de \( 8.5 \) donc je leur copie et à ce résultat précédent à trois facteurs du \( q5 \) je dois encore rajouter \( 2 \) donc je fais plus de voix là on a suivi les étapes successives pour le programme b on a suivi les étapes successives pour le programme à conclusion est bien conclusion ça marche pas on ne trouve pas la même chose étrange

Comment prouver que deux programmes de calcul sont équivalents ?

alors ça paraît quand même bizarre parce que vu le titre de la vidéo démontré que deux programmes de calcul sont équivalents ça veut certainement dire que le son comme m alors est-ce qu'il n'y aurait pas moyen de modifier un tout petit peu l'écriture d'un résultat ici ou de l'autre afin de prouver qu en fait ce sont les mêmes celui ci semble assez concentré est assez réduit on a envie de dire que celui ci on aurait du mal à y toucher par contre celui ci avec la une petite parenthèse et un nombre qui est un facteur on pourrait peut-être faire ce qui s'appelle un petit développement et donc agir par distribuer tivité là dessus peut-être que en modifiant l'écriture de cette expression on va retomber sur celle ci

alors allons-y modifiant cette expression on a proposé donc ici de développer la première partie de l'expression c'est à dire le premier terme alors ça donne quoi et bien ici j'ai trois facteurs de \( 8.5 \) je distribue le \( 3 \) ce qui me donne \( 3 \times x \) u3 \( x + 3 \times 5 \) \( 3 \times 5 \) je peux tout de suite écrire \( 15 \) donc trois facteurs de \( x5 \) est égal à \( 3x + 15 \) bon attention j'ai le plus de derrière faut pas l'oublier celui-là quand même donc je recopie donc plus de est là qu est ce qu on constate on va quand même pas laisser quinze plus de ici on va effectuer \( 15 \) plus de ça fait dix-sept soins \( 3x \) plus \( 17 \) finalement le résultat du programme b c \( 3x +17 \) tiens tiens c'est ce qu'on avait trouvé pour le programme a

donc en fin de compte quel que soit la valeur de \( x \) prises au départ à la fin on tombe sur \( 3x + 17 \) et ce qui signifie que ce n'est maintenant plus une conjecture on vient de prouver que pour n'importe quel nombre ici choisi au départ on tombe à la fin sur la même chose donc on peut maintenant affirmer que les deux programmes mène au même résultat et d'ailleurs cette méthode nous permet même de vérifier les résultats qu'on avait trouvé tout à l'heure je rappelle qu'avec sept au départ on avait trouvé \( 38 \) et bien \( x \) et galles cette je remplace \( 3 \times 7 + 17 \) \( 3 \times 7 \) \( 21 \) plus \( 17 \) \( 38 \) on retrouve bien notre \( 38 \) de tout à l'heure cette séquence est terminée