Factoriser une expression (niveau 1)
Quelle est la différence entre développer et factoriser une expression ?
[Musique] Bonjour, dans cette vidéo, tu vas apprendre à factoriser une expression. Alors, factoriser une expression, qu'est-ce que c'est ? Et bien, c'est en gros faire le chemin inverse du développement. Développement, c'est partir d'une expression qui a des parenthèses, donc qui est en facteur et se débarrasser des parenthèses en appliquant la formule de distributivité. factoriser, c'est faire strictement le chemin inverse. Voici un exemple pour comprendre. Euh, on a ici \( 24 \times 3 + 24 \times 5 \).
Alors, je te propose un exemple numérique, c'est plus facile euh à voir. Euh qu'est-ce qui se passe ? Je reconnais ici que j'ai deux facteurs 24 dans chacun de mes deux termes. J'ai \( 24 \times 3 \) et j'ai \( 24 \times 5 \). Et bien je vais pouvoir prendre ces deux facteurs 24, les mettre en facteur justement pour n'en faire qu'un. Et au lieu de multiplier 24 par 3 et 24 par 5, je mets je vais multiplier 24 par le tout, c'est-à-dire 24 par \( 3 + 5 \). Euh si tu te souviens du développement et je pense que tu t'en souviens et bien euh le développement c'est le chemin inverse, c'est appliquer la formule de distributivité dans l'autre sens.
Comment trouver le facteur commun d'une expression mathématique ?
Alors, l'exercice est un tout petit peu plus difficile parce que de temps en temps, on le verra alors pas dans cette vidéo mais dans la suivante sur la factorisation, et bien euh le facteur, le nombre à factoriser, donc ici le 24, il est un peu caché. Dans ces exemples là, on va voir qu'il n'est pas caché. Donc c'est parti, on y va et on va commencer par appliquer donc notre formule de distributivité dans le sens factorisation sur ce premier exemple. \( 42 \times 104 - 42 \times 4 \). Déjà, ce qu'il faut faire, c'est reconnaître ce qui s'appelle le facteur commun. Alors, commun en quoi ? Commun c'est-à-dire qu'on le retrouve dans chacun des deux termes parce que c'est lui que je vais factoriser et mettre devant la parenthèse comme dans l'exemple du 24.
Bien, quel est ce facteur commun ? C'est 42. Alors, j'avais peut-être pas besoin de le mettre en rouge, tu l'as vu immédiatement. Ce qui signifie quoi ? Ce qui signifie que je vais donc pouvoir factoriser par 42. Je vais donc multiplier par et bien le tout directement. Au lieu de faire \( 42 \times 104 - 42 \times 4 \) et bien je vais faire \( 42 \times (104 - 4) \). Alors à la différence de l'exemple précédent, ici j'ai une soustraction, dans l'autre j'avais une addition. Mais comme pour euh les développements, tu sais que si ça marche pour plus, ça marche pour moins.
Et bien qu'est-ce qui va se passer ici ? Je vais tout simplement recopier toute mon expression une fois que j'ai pris les facteurs 42. Regarde, c'est simple. Ces deux 42 là, on les retrouve devant ici. Je les ai mis en facteur. Et qu'est-ce qui me reste dans la parenthèse ? Et bien, il me reste toute l'expression une fois que j'ai enlevé les 42. Regarde, j'ai pris les 2/ 42, il me reste \( 104 - 4 \). Terminé. À ce niveau-là, la factorisation est faite. Ce qu'on peut faire évidemment ici, bien, c'est finir le calcul. Alors, ce type d'exemple euh numérique est toujours un petit peu parachuté. C'est pour faire du calcul numérique, mais c'est pas grave, c'est intéressant quand même. Donc, on y va. 42 multiplié par \( 104 - 4 \), ça fait 100 comme par hasard. ce qui s'effectue très bien puisque \( 42 \times 100 \) fait 4000 200.
Comment factoriser une expression avec x en 4ème ?
Passons au 2è exemple et donc on va faire strictement de la même manière même si ici on voit on a un nombre inconnu noté \( x \). Première étape reconnaître le facteur commun puisque c'est lui qu'on va factoriser. On regarde dans chacun de les de nos deux termes si on voit un facteur commun. Là encore il crève les yeux. C'est 7. Alors, cette fois-ci, je vais le recopier parce que comme c'est un facteur, je vais faire apparaître ici la petite multiplication que j'avais caché puisque bon, on nécrit pas \( 7 \times \) normalement, mais on écrit \( 7x \). Et ici, je vais également la faire apparaître. Elle était déjà là, je la mets juste en couleur. Voilà. J'ai donc maintenant mon expression développée, mon facteur commun bien visible.
Je vais pouvoir le prendre, l'extraire de l'expression comme je l'ai fait ici et le mettre en facteur. Ce qui donne et bien je le prends, je l'extrait de l'expression et je le mets en facteur. Et dans la parenthèse, je trouve quoi ? Bien, je trouve tout ce qui reste une fois que j'ai pris ce facteur commun. Donc ben ce qui me reste c'est ce qui est en bleu. \( X + 5 \) \( x + 5 \). Et bien voilà, c'est terminé. Ce qu'on peut faire simplement, c'est faire disparaître le petit fois ici qui ne sert à rien, soit 7 facteur de \( x + 5 \). Voilà l'expression du petit b qui est factorisée.
À quoi sert la factorisation pour réduire une expression ?
On peut passer à l'expression c \( 3x + 8x \). Alors, il y aurait deux manières de le faire. Peut-être que euh de la de l'autre manière dont je vais parler à la fin, tu te dirais c'est évident. Bon, en tous les cas, on va juste voir que la méthode de la factorisation fonctionne également sur ce type de calcul. Reconnaître de nouveau le facteur commun. Et le facteur commun et bien quand j'ai \( 3x + 8x \), bien c'est \( x \). Je vais donc faire comme tout à l'heure en recopiant ici mon facteur commun et en le mettant en rouge. Donc \( x \) \( x \) \( x \).
Alors euh problème ici, le facteur commun est derrière. Là il était devant. Là il est derrière. Bien ça marche de la même manière. On factorise juste à l'envers. Toute façon c'est une multiplication. Dans une multiplication l'ordre des facteurs n'a pas d'importance. \( 3 \times 2 \), c'est pareil que \( 2 \times 3 \). Donc et bien je vais faire pareil, je le fais à l'envers. Cette façon là, tu vois un exemple où ça fonctionne à l'envers égal et je factorise. J'ai donc pris mon facteur commun que j'ai mis donc en facteur et je retrouve dans la parenthèse tout ce qui reste une fois que j'ai pris ce facteur commun. Ici, il me reste \( 3 + 8 \). \( 3 + 8 \). L'expression est factoriser \( (3 + 8) \times x \). Mais \( 3 + 8 \), on va pas le laisser. \( 3 + 8 \), ça fait 11. Soit \( 11 \times x \) ou \( 11x \). Et bienx + 8x factorisé est égal à \( 11x \).
C'est là que peut-être tu avais vu dès le départ que ça faisait \( 11x \). C'est une évidence puisque ça peut être vu comme une réduction. \( 3x + 8x \), on compte les \( x \) comme on pourrait compter les pommes ou les petits suisses. Et bien 3 pommes + 8 pommes, ça fait 11 pommes. \( 3x + 8x \), ça fait \( 11x \). C'est la même chose. On retrouve le même résultat. Et cette séquence est terminée. Je t'invite à voir la vidéo niveau 2 sur les factorisations avec des factorisations un peu plus difficiles.
