Exprimer une aire en fonction de x et la représenter

Comment exprimer une aire en fonction de x en 4ème ?

[Musique] bonjour dans cette vidéo tu vas pouvoir apprendre à faire une représentation graphique après avoir exprimé une grandeur en fonction d'une autre on le dit ici que que l'on considère au départ un rectangle comme celui ci dont on connaît les dimensions \(20\) cm pour la longueur et \(13\) cm pour la largeur est en chacun de ces coins on va découper un petit carré tout l'écart et la même dimension je ne connais pas cette dimension on va s'intéresser à la fille du restantes

une fois qu'on a enlevé donc ses quatre petits carrés ça donne ceci et voilà j'ai donc là mes quatre petits carrés qui ont tous pour dimension un nombre que je ne connais pas et justement ce qui nous intéresse on le voit dans la question 1 c'est de considérer une variable qui désigne le côté d'un petit carré et à partir de là d'exprimer en fonction de cette variable l'ère de la partie restante c'est ça qui nous intéresse qu'elle ait l'air de cette partie alors désignons déjà cette variable honteux nature est tout naturellement on va l'appeler \(x\)

Comment calculer l'aire d'une figure avec une inconnue x ?

alors comment calculer l'air de cette figure c'est à dire une fois qu'on a enlevé les quatre carrés à chaque coin au bac ce qu à faire c'est qu'on va considérer la figure en son entier c'est-à-dire le rectangle et vu qu'on enlève on va donc faire une soustraction et on va soustraire les airs de chacun des petits carrés alors l'ère de la partie entière c'est-à-dire l'air de tout le rectangle ça c'est facile longueur \(\times\) largeur longueur ses vins largeur ses \(13\) du coup ses ventes multipliées par \(13\) et à l'air de ce rectangle je vais donc soustraire l'air de mes quatre petits carrés j'en ai quatre de petits carrés donc je vais soustraire \(4 \times\) l'air d'un carré reste donc à calculer l'air d'un seul carré ça s'efface

on a dit que le côté d'un quart et cx si je calcule et l'air d'un quart et je fais côté fois côté si côté cx je vais donc faire \(x \times x\) alors \(x \times x\) on sait les écrire autrement ça s'écrit bien évidemment \(x^2\) et bien voilà à lèvres totale du grand rectangle j'enlève quatre petits carrés dont l'air d'un petit carré est égal à ixxo caresse pour ça que le fait \(4 \times x^2\) s es qu'on peut écrire un peu plus simplement cette expression oui \(20 \times 13\) ça fait \(260\) - \(4 \times x^2\) on peut l'écrire \(4x^2\) alors on va lui donner un nom à cette expression puisqu'on a exprimé la leyre de la partie restante en fonction de \(x\) la longueur d'un côté du carré on va l'appeler 1 mais comme cette ère elle dépend de \(x\) entre parenthèses on va le rappeler on va mettre \(x\) et on va dire que \(A\) alors ça ça se lit \(A(x)\) pour dire que l'ère des pans de \(x\) dépend de la longueur d'un carré est égal à \(260 - 4x^2\) voilà l'expression qui nous donne l'air de la partie restante

Comment calculer la valeur d'une expression littérale pour un nombre donné ?

passons à la question deux pour construire la représentation graphique maintenant alors ou comprendre comment représenter graphiquement l'ère de la partie restante en fonction de la longueur des côtés des petits carrés on va déjà faire quelques essais avec quelques valeurs pour \(x\) tout à l'heure je l'ait pas dit mais en fait j'avais choisi quand même une longueur pour mon petit carré forcément et j'avais choisi \(3\) cm donc en fin de compte ici à chaque fois j'ai enlevé un petit carré de côté \(3\) cm on peut déjà se poser la question mais qu'elle ait l'air de cette surface dans ce cas là est bien pour cela il suffit de remplacer \(x\) par \(3\)

alors dans ce cas là l'air \(A\) je vais mettre \(3\) ici entre parenthèses puisque on sait maintenant que \(x\) vos \(3\) est égal à \(260 - 4\) je refais apparaître le symbole de multiplication fois \(3^2\) \(x^2\) \(3^2\) puisque \(x\) vos \(3\) et là bas on a une expression numérique donc on peut la calculer alors attention quand même en respectant les priorités j'ai ici un produit et puis là j'ai même une puissance donc on va déjà commencer par effectuer cette puissance bon facile trois quarts et ça fait \(9\) donc \(260 - 4 \times 9\) savez \(36\) soit \(260 - 36\) et ceci ça donne \(224\) on peut même mettre une unité derrière \(224\) centimètre carré

autrement dit pour l'exemple que j'avais choisi ici en découpant des carrés de côté \(3\) cm et bien l'air de la partie restante lé de \(224\) centimètre carré et si par exemple j'avais choisi de découper des petits carrés de côté \(1\) cm ça ferait combien calcule bien dans ce cas là l'air ar je vais mettre \(1\) un entre parenthèses puisque \(x = 1\) cm est égal à \(260\) je remplace - \(4 \times 1^2\) alors là c'est facile a au carré ça fait \(1\) du coulage et du \(4 \times 1\) \(4\) donc \(260 - 4\) et on trouve \(256\) centimètre carré est bien dans le cas où \(x = 1\) on trouve une surface de \(256\) centimètres carrés

et au fait si \(x = 0\) ça signifie quoi ba ça signifie que on découpe des carrés de côté \(0\) bas c'est décarie de côté \(0\) il n'existe pas donc on découpe rien du tout ce qui veut dire que la partie restante c'est quoi et bien c'est en fin de compte le rectangle de départ et le rectangle départ on connaît ses dimensions c'est \(260\) donc si jamais \(x = 0\) et bien l'air de la partie restante qu'on va noter \(A(0)\) égale à \(260\) et ceci sans même faire de calculs alors \(260\) pareil centimètre carré

mais si on voulait faire des calculs on pourrait parce que \(A(0)\) ça fait quoi ça fait \(260 - 4 \times 0^2\) or \(0^2\) ça fait \(0\) cas quoi \(0\) bas ça fait \(0\) donc du coup j'aurais la \(260 - 0\) je retrouve bien moins \(260\) donc en fin de compte la formule qui est ici marche même dans le cas extrême où on ne découpe rien du tout

Comment bien choisir l'échelle d'un repère pour tracer un graphique ?

alors on va quand même arriver maintenant tout doucement à notre présentation graphique je rappelle que c'est ça l'objectif on va faire un peu de place et on va juste se garder de trois petites choses alors on va se garder l'expression de en fonction de \(x\) l'expression de l'air et on va se garder les résultats donc \(A(3)\) \(A(1)\) et \(A(0)\) on se les met de côté voilà donc on nous dit qu'on voudrait une représentation graphique de l'ère de la partie restante en fonction de la longueur des côtes et des carrés en fonction de la longueur des côtes et des carrés cela signifie que on va trouver sur lynx des abscisses et bien la longueur des côtés des quarts et donc d'autres \(x\) en fait notre variable le nombre qu'on ne connaît pas mais qu on fait varier celui qui a pris la valeur \(0\) \(1\) et \(3\) jusqu'ici et sur l'axé ordonnait va forcément on va trouver l'autre grandeur c'est à dire l'air de la partie restante donc on peut déjà préparer ces deux axes

mais ce qu'il faudrait maintenant c'est les gradués les gradués de façon pertinente commençons par l'axé des abscisses que vos \(x\) quelle valeur peut prendre \(x\) bon on a vu déjà \(0\) \(1\) et \(3\) mais est-ce que \(x\) peut prendre des valeurs négatives par non c'est une longueur donc la valeur la plus petite pour \(x\) c'est \(0\) la question est quelle est la valeur la plus grande pour \(x\) bas pour cela il faut regarder notre rectangle quel est le carré le plus grand que je pourrai découper on voit que le problème se situe pas tellement au niveau de la longueur mais plus au niveau de la largeur parce que si par exemple je prends un carré de côté \(10\) cm donc ici j'aurais déjà mangé une grande partie de cet auteur j'aurai plus de place en bas pour faire un carré de longueur \(10\) cm en bas

alors ce qu'il faut prévoir donc c'est que au plus un car et fera la moitié de la largeur si je dépasse un tout petit peu après j'ai pu la place pour mettre au carré de l'autre côté la moitié de la largeur bas la largeur fait \(13\) la moitié de la largeur ses \(6,5\) ce qui veut dire que au plus je peut découper ici un carré deux côtés \(6,5\) là ça passera tout juste et j'aurai une partie restante effectivement donc \(x\) peut prendre des valeurs qui vont de \(0\) jusqu'à \(6,5\) alors on peut mettre \(7\) sur notre axe graduée mais après au delà ça n'a pas d'intérêt puisque de toute façon la situation ne se prêtent plus ne se prête pas des valeurs de \(x\) plus grande que \(6,5\)

ensuite sur l'axé des ordonnées et bien quelles sont les valeurs prise par l'air bas on comprend bien que la surface la plus grande qu'on puisse avoir passé celles ci on peut pas avoir une partie restante plus grande que celle ci c'est à dire le cas où \(x = 0\) le cas où on découpe rien ce qui signifie qu'il faut prévoir une graduation qui nous mène jusqu'à la valeur de \(260\) pour le cas où \(x = 0\) c'est pas la peine d'aller tellement au dessus ça ne sert à rien par contre si on va trop en dessous et bien du coup on ne pourra pas faire figurer la première la première donnée pour \(x = 0\) \(A(0)\) vous \(260\) donc après à toi te débrouiller pour faire une graduation régulière qui va de \(0\) à \(7\) sur l'exercice une graduation régulière qui va donc de \(0\) à \(260\) sur l'axé des ordonnées et ensuite on est prêt pour placer quelques valeurs et faire apparaître tout doucement cette représentation graphique qui va être une courbe

Comment placer des points et tracer la courbe d'une fonction mathématique ?

pour faire cette représentation graphique il nous faudrait quelques points quelques points qui répondent bien aux données de notre notre situation on en a déjà en fait on en a déjà trois parce que ici je sais que lorsque \(x = 0\) \(A(0)\) l'air vont \(260\) ce qui va dire que je vais chercher \(0\) sur l'axé des abscisses et je vais monter à \(260\) sur l'axé des ordonnées est là et bien j'ai un premier point qui va se trouver sur la représentation graphique et peut le noter ce premier point

j'en ai un deuxième si \(x = 1\) je cherche donc \(1\) sur l'axé abscisse \(A(1)\) gala \(256\) je monte à \(256\) sur l'axé ordonnée et là je trouve mon deuxième point qui correspond à un côté de carrés de longueur \(1\) cm et une aire donc qui mesure \(256\) centimètre car on va faire figurer de la même manière la correspondance \(x = 3\) r égale \(224\) et on a là un troisième point

alors ensuite qu'est ce qu'il faut faire vu que bas on sait pas trop ce qui se passe en particulier vers la droite pour des valeurs de \(x\) un peu plus grande une fois qu'on aura suffisamment de points on aura une allure de la courbe et on pourra relier ces points à main levée on fera de notre mieux pour obtenir donc notre présentation graphique donc ce que je propose c'est de calculer encore l'air dans le cas où \(x = 4\) et on trouve donc \(A(4)\) qui est égal à \(260 - 4 \times 4^2\) alors toujours en respectant bien les priorités ici tu commence par faire qu'a tocard équivaut \(16\) puis \(4 \times 16\) et enfin \(260\) - le résultat

alors je passe sur les calculs on trouve \(196\) on peut donc placer le point alors on peut même dire que comme on l'expriment ce point c'est le point de coordonner \(4\) \(196\) \(x = 4\) et r égale \(196\) on va encore calculé \(x = 5\) enfin l'air pour \(x = 5\) et on trouve alors je passe encore un peu plus sur les détails cent soixante et on va faire le point limite c'est à dire lorsqu'on trace le carré lorsqu on découpe le carré le plus grand possible dans notre rectangle c'est à dire \(x = 6,5\) et bien dans ce cas là l'ère de la partie restante est égal à \(91\) centimètres carrés on peut donc placer le point de coordonner \(6,5\) \(91\)

c'est à dire pour \(x = 6,5\) et bien on a une aire correspondante de \(92\) et là on y voit quand même un tout petit peu plus clair on a six points et à l'aide de ses six points et bien on va pouvoir tracé à main levée donc pas à la règle à main levée lacombe représentative de l'air donc exprimé en fonction de la longueur des côtes et des carrés cette séquence est terminée