Conjecturer, puis démontrer

Qu'est-ce qu'une conjecture en mathématiques au collège ?

[Musique] bonjour dans cette vidéo tu vas pouvoir comprendre ce que c'est qu'une conjecture on demande souvent dans les exercices d'établir une conjecture ou de conjecturer telelle ou telle chose et on comprend pas bien ce que ce qu'on attend ce que cela signifie je vais t'expliquer ici sur un exemple très simple qu'est-ce que c'est qu'une conjecture et ensuite voir quelle est la différence entre une conjecture une propriété ou un théorème qu que c'est que démontrer finalement une conjecture alors pour cela donc on va partir d'un programme de calcul qui est le suivant on nous demande de choisir un nombre d'enlever 3 à ce nombre ensuite de prendre le double et finalement d'ajouter 6 et à la fin et bien d'établir une conjecture ah qu'est-ce que ça veut dire ceci bien je vais déjà choisir un nombre au hasard on va prendre disons \( n = 5 \) donc mon nombre 5 qu'est-ce que je vais faire je vais commencer par lui enlever 3 comme c'est indiqué j'obtiens donc 2 ensuite non ensuite on me demande de prendre le double c'est-à-dire de faire le double du résultat d'avant donc \( 2 \times 2 \) et j'obtiens 4 très bien et enfin d'ajouter 6 au résultat donc je prends le nombre d'avant et je rajoute 6 j'obtiens 10 OK lorsque \( n = 5 \) j'obtiens 10 en sortie établir une conjecture je sais toujours pas ce que ce qu'on me demande finalement alors ce que je vais faire je vais prendre un nouveau nombre je vais prendre par exemple \( N = 7 \)

Comment trouver la conjecture d'un programme de calcul en 4ème ?

allons-y et je vais à nouveau appliquer mon programme de calcul mon nombre est 7 j'enlève 3 je fais donc \( 7 - 3 \) j'obtiens 4 je prends le double c'est-à-dire le double de 4 j'obtiens 8 j'ajoute 6 j'ai 8 je fais donc \( 8 + 6 \) et j'obtiens 14 très bien alors avant j'avais eu 10 en prenant 5 au départ maintenant j'ai 14 en prenant 7 au départ établir une conjecture je sais pas peut-être déjà tu as trouvé bon bien on va prendre un troème nombre je vais maintenant prendre carrément 30

allons-y alors c'est parti je commence par enlever 3 ce qui me fait 27 27 je prends le double donc je fais \( 2 \times 27 \) on obtient 54 et ensuite j'ajoute 6 c'estàdire \( 54 + 6 \) et j'obtiens 60 avec 30 au départ j'obtiens 60 alorsa le bilan au premier tour j'avais choisi 5 j'ai trouvé 10 au 2è j'avais choisi 7 j'ai trouvé 14 au 3è j'avais choisi 30 j'ai trouvé 60

Pourquoi vérifier avec des exemples ne suffit pas pour démontrer en maths ?

alors on va peut-être arrêter de faire des essais parce que là moi je vois clairement quelque chose j'ai l'impression qu'à chaque fois je trouve le double du nombre de départ 5 son double c'est 10 7 son double c'est 14 30 son double c'est 60 et oui ça marche à chaque fois pour 5 pour 7 et pour 30 nombre que j'ai pris au hasard et bien là je suis en train d'établir une conjecture c'est-à-dire que j'observe un résultat à partir donc de ce programme de calcul et j'aiétabli une conclusion ma conclusion est la suivante en appliquant ce programme de calcul je trouve à chaque fois le double du nombre de départ écrivons-le mais pourquoi c'est une conjecture finalement ça ne me dit toujours pas ce que c'est une conjecture ceci c'est une conjecture tout simplement parce que je l'ai vérifié pour trois valeurs mais pas pour toutes les valeurs c'est-à-dire qui me dit qu'en prenant 3 au départ ça va me donner le double c'est-à-dire 6 alors je pourrais le vérifier OK et ça pourrait marcher mais qui me dit qu'en prenant 10 au départ ça va me donner 20 je pourrais aussi le vérifier mais je ne peux pas le vérifier avec tous les entiers et d'ailleurs là je parle que des entiers est-ce que ceci marche avec des nombres décimaux avec des fractions par exemple est-ce qu'en prenant n'importe quel nombre au départ j'obtiens toujours le double par exemple \( 2,718 \) au départ est-ce que le programme de calcul va me renvoyer le double ça je sais pas ça ça c'est pas sûr quand même on a envie de le penser parce que ça a marché à chaque fois mais c'est pas sûr que ça marche avec tous les nombres et bien c'est pour ça que ça s'appelle une conjecture parce que c'est quelque chose dont je suis presque sûr mais je n'en suis pas absolument sûr ce n'est pas la vérité absolue et si on veut en être certain il faudrait le prouver il faudrait prouver que c'est vrai pour n'importe quel nombre et bien c'est ce qu'on va faire maintenant on va le prouver cela s'appellera donc une preuve ou une démonstration faisons la démonstration de cette conjecture afin d'établir ensuite une propriété dont je suis sûr allons aussi

Comment démontrer une conjecture avec une lettre (x ou n) en 4ème ?

et bien si on veut démontrer que c'est vrai pour n'importe quel nombre il faut choisir au départ un nombre quelconque on va pas pouvoir choisir un nombre bien précis type 5 7 ou 30 on va choisir un nombre et ce nombre quelconque on va lui donner un nom on va l'appeler \( N \) et on va prouver qu'en choisissant \( n \) au départ à à la fin on va obtenir le double de \( N \) c'est-à-dire \( 2 \times N \) ou \( 2N \) si j'arrive à prouver qu'en appliquant mon programme de calcul à un nombre \( n \) quelconque et qu'en sorti j'obtiens \( 2 \times n \) dans ce cas-là cela voudra dire que pour n'importe quelle valeur ici que je mets pour \( n \) j'obtiens en sortie deux fois cette valeur là ça serait sûr que c'est vrai pour n'importe quel nombre

alors allons-y et bien on va appliquer notre programme de calcul à \( N \) et on va reprendre pas à pas les consignes de ce programme choisis un nombre c'est fait il s'appelle \( n \) enlève 3 et bien j'enlève 3 je fais donc \( - 3 \) prends le double je vais donc prendre le double de ce nombre-là donc je vais faire 2 fois ce nombre-là attention on va mettre des parenthèses puisque c'est de fois le tout toute la valeur précédente et enfin ajoute 6 et bien j'ajoute 6 je reprends j'ai choisi un nombre \( n \) j'enlève 3 je prends le double \( \times 2 \) j'ajoute 6 \( + 6 \) finalement mon programme de calcul revient à effectuer cette opération avec un nombre inconnu qui est \( n \) mais cette expression là je pourrais la modifier un tout petit peu parce que ici il y a une parenthèse avec un 2 qui est en facteur on pourrait développer ici le premier terme la première partie de cette expression et bien on va le faire ça nous donne quoi bien ça nous fait \( 2 \times N \) c'est-à-dire \( 2N \) moins \( 2 \times 3 \) \( 2 \times 3 \) qui nous donne 6 j'ai donc développé ici cette expression mais j'ai toujours \( + 6 \) derrière OK finalement j'arrive à \[ 2n - 6 + 6 \] tiens tiens \( - 6 + 6 \) ça c'est parfait ça s'en va qu'est-ce qui me reste et bien il me reste \( 2N \) et bien c'est justement ce que je voulais prouver j'ai choisi un nombre \( n \) au départ j'applique mon programme de calcul qui est résumé dans cette expression et j'obtiens \( 2N \) en sortie

Quelle est la différence entre une conjecture, une propriété et un théorème ?

je viens là de faire une démonstration que cette règle là elle est vrai pour n'importe quelle valeur de \( n \) et bien maintenant cette phrase là n'est plus une conjecture mais ça devient une vraie règle une vraie propriété si elle était plus importante on pourrait l'appeler un théorème mais en tout cas ceci est maintenant vrai pour n'importe quelle valeur de \( n \) on a plus besoin ici de le vérifier pour d'autres valeurs on peut le noter lorsqu'on choisit un nombre qu'on enlève 3 qu'on prend le double et qu'on ajoute 6 on obtient le double du nombre de départ alors ceci je l'ai appelé propriété parce que bien évidemment ce n'est pas une règle très importante dans le monde des mathématiques quand c'est une propriété beaucoup plus connu beaucoup plus utilisée qui trouve de nombreuses implications on l'appelle plutôt un théorème comme par exemple le théorème de Pythagore ou encore le théorème de Thalès en tout cas ceci maintenant c'est sûr car ça a été démontré à partir d'une conjecture établie au départ alors suite à cette vidéo je te conseillerai de regarder une autre vidéo qui explique la différence entre entre un théorème et sa réciproque mais ceci est un autre problème en tout cas pour cette séquence elle est terminée