Savoir si 2 Triangles sont Semblables - avec les Angles

Comment savoir si deux triangles sont égaux en 3ème ?

Allez, on se retrouve pour une nouvelle compétence. Aujourd'hui, on regarde un nouveau sujet sur les triangles. On nous propose deux triangles avec deux angles donnés pour chacun, et on nous demande s'ils sont égaux ou s'ils sont semblables. Ça fait suite aux premières propriétés qu'on a vues, comme le fait que la somme des trois angles fait \( 180^{\circ} \). Aujourd'hui, on va définir de nouvelles propriétés : qu'est-ce que deux triangles égaux et qu'est-ce que deux triangles semblables ?

On commence avec les triangles égaux, il y a deux façons de les définir. Pour faire au plus simple, pour que deux triangles soient égaux, il faut qu'ils aient les mêmes angles et les mêmes longueurs sur les côtés. C'est ce qu'il faut retenir très rapidement. Sinon, il y a deux autres méthodes. Soit vous repérez un angle en commun, et les deux côtés associés à cet angle ont les mêmes mesures. Si vous avez à la fois le même angle et les deux côtés associés de mêmes mesures, cela suffit à justifier que ce sont deux triangles égaux. L'autre solution, c'est de prendre deux angles identiques, et entre ces deux angles, d'avoir la même longueur sur le côté commun aux deux triangles.

Comment démontrer que deux triangles sont semblables avec les angles ?

Maintenant, qu'est-ce que sont deux triangles semblables ? En fait, il suffit juste que ce soit les mêmes proportions. On se réfère ainsi au chapitre sur la proportionnalité. Les longueurs ne sont pas forcément les mêmes, mais par contre, il faut absolument que les angles soient identiques. La proportionnalité s'applique sur les longueurs des côtés. On verra cela aussi avec l'homothétie, sur l'agrandissement et la réduction, ce qui sera l'objet d'un autre chapitre. Pour montrer que deux triangles sont semblables grâce aux longueurs, il faut passer par la proportionnalité.

En ce qui concerne les angles, il faut que les trois soient identiques, mais en pratique, il suffit d'en trouver seulement deux qui sont égaux. Pourquoi ? Parce que la somme des angles d'un triangle fait toujours \( 180^{\circ} \). Donc, l'équation est simple :

Si on en connaît deux, on connaît forcément le troisième. S'il y a deux angles qui sont identiques dans les deux triangles, le troisième sera obligatoirement exactement le même. Il suffit donc de vérifier deux angles pour être sûr que deux triangles sont semblables.

Comment calculer le troisième angle d'un triangle pour prouver la similitude ?

On revient sur notre sujet de départ. J'avais \( 57^{\circ} \) et \( 64^{\circ} \) pour le premier triangle, et pour le deuxième, j'ai \( 59^{\circ} \) et \( 64^{\circ} \). On ne me donne pas le troisième angle, c'est un peu le but du jeu de cet exercice. Quelle va être la mesure du troisième angle pour chaque triangle ? Pour le premier triangle, la somme doit faire \( 180^{\circ} \), ce qui donne l'équation suivante en appelant \( x \) l'angle cherché :

C'est une résolution d'équation classique. Quand j'isole mon \( x \), j'obtiens :

J'ai donc \( 59^{\circ} \) pour le troisième angle du premier triangle. Pour le deuxième triangle, j'ai déjà des angles de \( 59^{\circ} \) et \( 64^{\circ} \). Je connais maintenant la méthode pour trouver mon angle \( y \) : c'est \( 180 \) moins la somme des deux angles qui sont connus.

J'ai donc bien \( 57^{\circ} \) pour ce troisième angle.

Comment différencier des triangles égaux et des triangles semblables ?

On récapitule : on obtient des angles de \( 59^{\circ} \), \( 64^{\circ} \) et \( 57^{\circ} \) dans le deuxième triangle, et dans le premier on a également \( 57^{\circ} \), \( 64^{\circ} \) et \( 59^{\circ} \). Ils ont donc exactement les mêmes angles. On peut en conclure que ce sont deux triangles semblables. Par contre, nous n'avons pas d'informations sur les longueurs des côtés, donc on ne peut pas conclure s'ils sont égaux ou non. C'est vraiment la distinction principale qu'il faut retenir.

Des triangles semblables ont la même proportion, les longueurs sont proportionnelles entre elles, et les angles sont absolument identiques. Des triangles égaux, en revanche, ont à la fois les mêmes angles et les mêmes longueurs : on peut les superposer pour obtenir exactement le même triangle. Entraînez-vous sur ces propriétés liées aux angles, et nous aborderons ensuite la proportionnalité avec les longueurs dans les prochaines compétences.