Calculer les longueurs de Triangles Semblables

Comment trouver la mesure manquante dans deux triangles semblables ? (3ème)

Nous abordons un nouveau cas de figure concernant les triangles semblables. Imaginons un problème où l'on nous affirme que deux triangles sont semblables. Contrairement à des situations où il faut prouver cette similitude, ici, c'est une donnée de départ. Pour le premier triangle, nous connaissons toutes les longueurs de ses côtés. En revanche, pour le deuxième triangle, il nous manque la mesure d'un des côtés. L'objectif est de déterminer comment calculer cette longueur manquante en s'appuyant sur les propriétés des triangles semblables.

Pour résoudre ce problème, il faut se rappeler de ce que nous avons appris sur la proportionnalité dans les triangles semblables. Nous savons que si deux triangles sont semblables, les longueurs de leurs côtés sont proportionnelles. Cela implique l'existence d'un facteur de proportionnalité, souvent noté \(k\), qui permet de passer des dimensions de l'un à celles de l'autre. Dans notre cas, ce facteur \(k\) va nous être très utile pour déduire la mesure qui nous fait défaut. La première étape va consister à retrouver les longueurs qui vont ensemble, c'est-à-dire les côtés homologues.

Comment associer les côtés homologues de deux triangles semblables ?

Puisque l'énoncé ne précise pas explicitement quels côtés correspondent l'un à l'autre, nous devons le déduire. Nous allons essayer de retrouver ces correspondances en testant des ratios pour identifier le bon facteur \(k\). Pour commencer, une bonne méthode consiste à énumérer les longueurs et à les classer par ordre croissant. Nommons le premier triangle "triangle 1" et le deuxième "triangle 2". Pour le triangle 1, nous avons les longueurs 5, 6 et 8. Nous les ordonnons ainsi : \(5 < 6 < 8\).

Pour le triangle 2, nous n'avons que deux longueurs : 5,1 et 6,8. Étant donné qu'il en manque une, nous ne pouvons pas définir avec certitude l'ordre complet. Nous pouvons supposer, en nous fiant au schéma, que la longueur manquante est la plus petite. Nous allons donc tester différentes associations pour voir lesquelles donnent un facteur de proportionnalité constant. Nous allons diviser les mesures du deuxième triangle par celles du premier triangle pour calculer ces ratios.

Comment calculer le coefficient de proportionnalité entre deux triangles ?

Passons aux calculs pour tester nos hypothèses. Si l'on essaie de diviser 5,1 par 5, on obtient un certain résultat. Ensuite, si l'on divise 6,8 par 6, on s'aperçoit que les résultats ne correspondent pas au même coefficient d'agrandissement ou de réduction. Cette première tentative d'association n'est donc pas la bonne. Il faut essayer une autre combinaison. Tentons d'associer la mesure 5,1 avec le côté de longueur 6, et la mesure 6,8 avec le côté de longueur 8.

Effectuons les calculs : \(\frac{5,1}{6}\) nous donne 0,85. Calculons maintenant \(\frac{6,8}{8}\) : le résultat est également 0,85. C'est parfait ! Le fait d'obtenir le même résultat pour ces deux ratios confirme que notre association est correcte. Nous avons besoin de vérifier au moins deux correspondances pour nous assurer que nous avons trouvé le bon facteur de proportionnalité pour ces triangles semblables. Le facteur de réduction entre le grand et le petit triangle est donc de 0,85.

Comment utiliser le coefficient d'agrandissement ou de réduction en 3ème ?

Faisons le point sur nos correspondances. Nous avons établi de manière certaine que le côté mesurant 6 est associé à celui mesurant 5,1, et que le côté mesurant 8 est associé à celui mesurant 6,8. Les ratios de ces longueurs correspondantes nous ont permis de trouver notre facteur \(k\), qui est égal à 0,85. Ce facteur représente le coefficient de réduction pour passer du premier triangle au deuxième.

Il ne nous reste plus qu'à utiliser ce facteur pour trouver la longueur manquante. La longueur inconnue du deuxième triangle correspond au côté mesurant 5 dans le premier triangle. Selon la règle de proportionnalité, le ratio de cette longueur inconnue sur 5 doit être égal à notre facteur \(k\). Nous pouvons donc poser l'équation suivante : \(\frac{\text{longueur manquante}}{5} = 0,85\). Il nous reste à résoudre cette petite équation pour trouver la réponse.

Comment résoudre un problème avec des triangles semblables ?

Pour déterminer la valeur de la longueur manquante, nous pouvons utiliser le principe du produit en croix. À partir de notre équation, nous déduisons que la longueur inconnue est égale à \(0,85 \times 5\). En effectuant ce calcul, on obtient 4,25. La mesure manquante sur notre deuxième triangle est donc de 4,25 cm. La méthode est validée, nous avons répondu à la question du problème avec succès.

En résumé, lorsque l'on sait que deux triangles sont semblables, on peut établir une égalité avec les ratios de chaque longueur correspondante. La principale difficulté réside souvent dans l'identification des côtés homologues, c'est-à-dire trouver quelle longueur correspond à quelle autre. Une fois cette étape franchie, il suffit d'appliquer la formule avec le facteur \(k\) ou de faire un produit en croix pour trouver la dimension inconnue. C'est une technique systématique qu'il faut maîtriser en s'entraînant sur différents cas de figure.