📝 Fiche résumée
La proportionnalité en troisième : reconnaître, calculer, justifier
La proportionnalité est sans doute la notion de collège que l'on croise le plus souvent en dehors du cours de mathématiques. Une recette qu'on adapte au nombre de convives, un prix au kilo, une vitesse constante, l'échelle d'une carte, un pourcentage : à chaque fois, deux grandeurs varient ensemble en gardant le même rapport. En troisième, l'enjeu n'est plus seulement de calculer une quatrième valeur, mais de savoir reconnaître une situation de proportionnalité, de choisir la méthode la plus rapide et de justifier sa réponse. Cette fiche de révision rassemble les trois visages de la notion : le tableau, le graphique et l'échelle. Elle sert de rappel avant un contrôle ou avant le brevet, mais elle ne remplace pas le travail sur les exercices, où se joue le vrai apprentissage.
Reconnaître la proportionnalité dans un tableau
Le coefficient de proportionnalité
Un tableau est un tableau de proportionnalité lorsqu'on passe de la première ligne à la seconde en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre s'appelle le coefficient de proportionnalité. Le mot « toujours » est ici le mot important : il ne suffit pas que cela marche pour une colonne, il faut que le même facteur convienne à toutes.
Pour trouver ce coefficient, on divise une valeur de la seconde ligne par la valeur de la première ligne située dans la même colonne. Une précaution s'impose : la valeur du dénominateur doit être non nulle, sans quoi la division n'a pas de sens.
Vérifier, et non supposer
Beaucoup d'erreurs viennent d'une conclusion hâtive. Avant d'appliquer une méthode de proportionnalité, il faut s'être assuré que la situation en relève vraiment. Un énoncé peut décrire une évolution régulière sans être proportionnelle : un abonnement avec des frais fixes, par exemple, coûte plus cher que le double quand on double la durée, parce que les frais fixes ne se divisent pas. Le réflexe utile est de tester le coefficient sur au moins deux colonnes.
Trouver une valeur manquante
C'est la question la plus fréquente, et la fiche en présente quatre méthodes. Elles donnent toutes le même résultat : il n'est pas nécessaire de les connaître toutes par cœur, mais il est très utile d'en maîtriser deux, pour pouvoir vérifier un calcul par un autre chemin.
Le produit en croix
Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux. On multiplie donc en diagonale, puis on divise par la valeur restante. C'est la méthode la plus générale, celle qui fonctionne quels que soient les nombres, même lorsqu'ils ne « tombent pas juste ». C'est aussi celle qu'on attend le plus souvent dans une rédaction.
Le coefficient, ou le passage par l'unité
On calcule d'abord le coefficient de proportionnalité, puis on l'applique à la valeur cherchée. Cette méthode est la plus rapide quand le coefficient est un nombre simple. Le passage par l'unité en est une variante très intuitive : on cherche ce que vaut une seule unité, puis on multiplie par la quantité voulue.
Multiplier ou additionner des colonnes
Ces deux méthodes exploitent une propriété souvent oubliée : dans un tableau de proportionnalité, on peut multiplier une colonne par un nombre, ou additionner deux colonnes entre elles, et obtenir une nouvelle colonne valide. Quand la valeur cherchée s'obtient simplement à partir des autres, ces raccourcis évitent tout calcul de coefficient et se rédigent en deux lignes.
Lire la proportionnalité sur un graphique
La reconnaissance graphique tient en une phrase, mais cette phrase comporte deux conditions. Les points doivent être alignés, et la droite qui les porte doit passer par l'origine du repère. L'alignement seul ne suffit pas : une droite qui coupe l'axe des ordonnées ailleurs qu'en zéro décrit une situation affine, pas proportionnelle. C'est exactement le cas de l'abonnement avec frais fixes évoqué plus haut, et c'est l'erreur la plus fréquente à ce niveau.
Lorsque les deux conditions sont réunies, la relation entre les deux grandeurs s'écrit comme un produit : l'ordonnée est égale au coefficient de proportionnalité multiplié par l'abscisse. Ce coefficient se lit directement sur le graphique, en regardant l'ordonnée du point d'abscisse 1, ou en calculant le rapport des coordonnées de n'importe quel point de la droite.
L'échelle d'un plan
Définition
L'échelle d'un plan ou d'une carte est le rapport entre la distance mesurée sur le plan et la distance réelle correspondante. La condition à ne jamais oublier est que les deux distances doivent être exprimées dans la même unité avant de former le rapport. Une échelle est un nombre sans unité, souvent écrit sous la forme d'un rapport dont le premier terme vaut 1.
Utiliser une échelle
Le travail se fait en deux temps, et les séparer clairement évite la plupart des erreurs. On applique d'abord l'échelle pour passer du plan à la réalité, ou l'inverse, ce qui est un simple calcul de proportionnalité. On convertit ensuite dans l'unité demandée par l'énoncé. Mélanger les deux étapes conduit presque toujours à un résultat faux d'un facteur cent ou mille, et c'est la conversion, plus que la proportionnalité, qui fait perdre des points.
Un ordre de grandeur sert de garde-fou : une distance réelle est toujours plus grande qu'une distance sur le plan, sauf pour un dessin d'agrandissement. Si le résultat va dans l'autre sens, c'est que l'échelle a été appliquée à l'envers.
Les réflexes à emporter
- Vérifier que le coefficient est le même sur plusieurs colonnes avant de conclure à la proportionnalité.
- Choisir le produit en croix quand les nombres sont compliqués, le coefficient quand il est simple.
- Se rappeler qu'on peut multiplier ou additionner des colonnes entières.
- Sur un graphique, exiger les deux conditions : points alignés et droite passant par l'origine.
- Pour une échelle, mettre les deux distances dans la même unité avant tout calcul.
- Traiter la conversion d'unité comme une étape à part, écrite séparément.
- Contrôler l'ordre de grandeur du résultat avant de le recopier.
La proportionnalité revient chaque année au brevet, seule ou cachée dans un exercice de géométrie, de statistiques ou de physique. La fiche se relit en quelques minutes : servez-vous-en comme d'un dernier rappel, après avoir fait les exercices du chapitre.
