4. Tous les diviseurs

Comment trouver tous les diviseurs d'un nombre entier ?

Allez, on commence un nouveau type d'exercice. Ici on nous demande tous les diviseurs d'un nombre. Je vous rappelle le vocabulaire de multiple et diviseur quand on a une forme d'égalité comme ça : \( a = b \times q \). Vous vous rappelez aussi que cela venait de la division euclidienne avec le reste \( a = b \times q + r \), sauf que quand on parle de multiple ou diviseur, on n'a plus de reste. On avait le dividende, le diviseur, le quotient et le reste, mais le reste on n'en a pas parce qu'on veut que le quotient soit un entier. Donc ici, on cherche les diviseurs, c'est-à-dire les produits qu'on peut construire pour que le résultat soit égal à 39. Et \( a \), c'est ce qu'on appelle le multiple. On a vu juste avant les critères de divisibilité par 2, par 3, par 4, par 5, etc.

On pourrait tâter un peu au hasard tous les nombres qui nous passent par la tête. Par exemple, si je vous donne le nombre 12, on va se dire que c'est divisible par 4. Donc on peut écrire \( 12 = 4 \times 3 \). Mais ce ne sont pas les seuls ! Tout bêtement, on peut dire que 12 et 1 sont aussi des diviseurs de 12. On peut toujours diviser un nombre par 1 et par lui-même. On va essayer de mettre un petit peu de méthode. Là encore ce n'est pas un nombre très grand, mais on ne va pas tester tous les nombres de 1 jusqu'à 39, cela serait très long. La méthode nous dit qu'il faut s'arrêter à la racine du nombre, qu'on appelle \( \sqrt{N} \). On teste ensuite tous les entiers 1, 2, 3, 4, 5, etc., un à un jusqu'à cette limite pour voir si ce sont bien des diviseurs.

Comment lister les diviseurs d'un nombre avec un tableau ?

Ma méthode consiste à faire une colonne où je mets à chaque fois le produit, comme on l'a vu dans l'égalité précédente. On commence par le 1, c'est toujours un diviseur avec le nombre en question, donc on note 1 et 39. Après, je peux passer à 2, mais on voit que 39 finit par 9. Ce n'est pas un nombre pair, ce n'est ni 8, ni 0, ni 4, ni 2, ni 6, donc ce n'est pas divisible par 2. Pour le 3, il faut faire la somme des chiffres : \( 3 + 9 \) fait 12. Or, 12 est bien un multiple de 3. On fait sa petite division : \( 39 \div 3 \), cela fait tout simplement 13. Jusqu'où s'arrête-t-on de tester ? On a dit qu'on allait jusqu'à la racine du nombre, donc \( \sqrt{39} \). Soit vous avez la calculatrice et vous testez avec, soit ce sont des nombres abordables et vous utilisez vos carrés parfaits.

Par exemple \( 1^2 \) fait 1, \( 2^2 \) fait 4, \( 3^2 \) fait 9, et on continue jusqu'à 10, 11, 12. Là nous sommes à 39, donc nous sommes entre 6 et 7. Pourquoi ? Parce que \( 6^2 \) fait 36, on est juste avant, et \( 7^2 \) fait 49, on est juste après. On est bien entre ces deux carrés, donc je sais que la racine est \( 6,\dots \). Finalement, la valeur exacte m'importe peu, je ne suis pas obligé de mettre les dixièmes. Le but du jeu est de savoir à quel nombre entier je m'arrête. Ici c'est 6, donc je sais qu'au maximum je vais tester jusqu'à 6. J'en étais à 3 et j'ai trouvé 13. Le 4 n'est pas un nombre pair, donc ce n'est pas bon. Le 5, ça ne finit pas par 0 ou 5.

Et on arrive enfin à 6. Pour le critère de divisibilité par 6, il faut que la division par 2 soit respectée parce que c'est un nombre pair, et aussi par 3 parce que \( 6 = 3 \times 2 \). Le 3 fonctionne, mais on avait vu que 39 n'était pas un nombre pair, donc il n'est pas divisible par 2, ni par 6. Finalement, on s'arrête là ! Nous sommes allés jusqu'à la racine carrée du nombre. À la fin, on peut rédiger une phrase : les diviseurs de 39 sont 1, 3, 13 et 39. On n'oublie pas de prendre les nombres situés à gauche et à droite de notre colonne.

Comment trouver tous les diviseurs de 130 ?

On passe maintenant à tous les diviseurs de 130. Nous allons rédiger sous forme de colonne en mettant un à un tous les diviseurs. On commence par 1, après on teste avec 2, 3, 4, 5, 6... On ne va pas jusqu'à 130, on va s'arrêter à la racine carrée de 130, soit \( \sqrt{130} \). Si vous n'avez pas la calculatrice, c'est utile de connaître ses carrés parfaits jusqu'à 12 ou 13. Ici, on est à 130, donc au-dessus de 10. En effet, \( 10^2 \) fait 100 et \( 11^2 \) fait 121, on est juste au-dessus. Ensuite, \( 12^2 \) donne 144. Je sais donc que la racine est environ \( 11,\dots \), car 12 au carré dépasse 130. Au maximum, on ira jusqu'à 11.

On commence avec 1, c'est toujours un diviseur, on le note avec 130. Quel que soit l'entier, vous avez au minimum deux diviseurs qui sont 1 et lui-même. On continue avec 2 : est-ce que c'est divisible par 2 ? Oui, cela finit par un 0. On effectue le calcul et on note le résultat, cela fait 65. Ensuite on passe à 3. Est-ce que 130 est divisible par 3 ? On additionne tous les chiffres du nombre : \( 1 + 3 + 0 \), cela fait 4. Comme 4 n'est pas un multiple de 3, ce n'est pas divisible par 3. Ensuite, on teste 4. Ma méthode consiste à dire que diviser par 4 revient à diviser deux fois par 2, car \( 4 = 2 \times 2 \). J'ai déjà divisé 130 par 2 et obtenu 65. La deuxième division par 2 est-elle possible ? Non, car 65 finit par un 5, ce n'est pas un nombre pair.

Quels sont les critères pour trouver les derniers diviseurs de 130 ?

Ensuite, on teste 5. Oui, cela fonctionne, car 130 finit par un 0 ou un 5. Si on divise 130 par 5, on obtient 26. Ensuite on teste 6 : on sait que c'est \( 3 \times 2 \). Puisque 130 n'est pas divisible par 3, il n'est pas divisible par 6. Pour 7, il n'y a pas de critère de divisibilité simple. Vous testez avec une division euclidienne classique, et s'il y a un reste à la fin, cela veut dire que ça ne marche pas. Ensuite 8 : ce n'était pas divisible par 4, donc ce n'est logiquement pas divisible par 8. Pour 9, s'il n'y a pas de divisibilité par 3, il n'y a forcément pas de divisibilité par 9.

Ensuite nous avons 10. Cela fonctionne parce que le nombre finit par un 0, ce qui donne \( 10 \times 13 \). Et on arrive enfin à notre limite de 11, mais on voit bien que 11 ne fonctionne pas. Notre dernier diviseur à gauche sera donc 10 et nous pouvons nous arrêter là. On a testé tous nos critères et on peut conclure. Vous rédigez une phrase pour synthétiser vos résultats : les diviseurs de 130 sont 1, 2, 5, 10, 13, 26, 65 et 130. N'oubliez pas, il faut inclure tous les nombres de la colonne de gauche, mais aussi tous ceux trouvés dans la colonne de droite.