11. Problèmes
Comment résoudre un problème de croisement sur un circuit (maths 3ème) ?
Allez, on arrive à la fin du chapitre sur les nombres entiers, on se fait un petit problème. Je vous l'énonce et je vous le lis tout de suite. L'énoncé me dit que j'ai deux voitures qui partent en même temps sur une ligne de départ et font plusieurs tours d'un même circuit. La voiture A fait le tour du circuit en 36 secondes et la voiture B fait le tour en 30 secondes.
J'ai la voiture A et la voiture B, elles partent en même temps, et la voiture A met 36 secondes pour faire un tour, forcément parce qu'elle a un parcours beaucoup plus long que la voiture B, et la voiture B met 30 secondes pour faire le tour. La question qu'on me pose : est-ce que ces deux voitures vont se recroiser sur la ligne d'arrivée et si oui, au bout de combien de temps ?
Pourquoi et comment utiliser le PPCM pour résoudre un problème de rencontre temporelle ?
Pour y répondre, on peut y aller de façon très pragmatique et se dire qu'on va compter le nombre de secondes écoulées pour un tour, deux tours, trois tours, pour chacune des voitures. Le premier tour pour la voiture A, ça va être 36 secondes, le deuxième tour elle va être à 72 secondes, au troisième tour, etc. On peut faire la même chose avec la voiture B. Au premier tour, ça sera 30, au deuxième tour ça sera 60, etc.
Qu'est-ce qu'on cherche finalement ? On cherche le nombre de secondes qui s'est écoulé quand la voiture va passer pile sur la ligne. N'est-ce pas une compétence qu'on a vue dans ce chapitre ? En fait, on cherche tous les multiples de 36 secondes et de 30 secondes. Pourquoi ? Parce qu'à chaque fois, on va faire un deuxième tour, un troisième tour, donc avec un nombre de tours entiers, on cherche combien de secondes cela fait au total.
On cherche les multiples de 36 et on cherche les multiples de 30. Que cherche-t-on exactement ? On cherche le moment où, pour le même temps écoulé, on va tomber avec A et B sur la même ligne. Finalement, c'est trouver le plus petit commun multiple, le PPCM. On cherche tous les multiples et on cherche le plus petit, car on pourrait laisser les voitures tourner à l'infini et elles passeraient plusieurs fois devant en même temps, mais on cherche la première fois où elles vont arriver sur la ligne en même temps. On peut continuer avec la méthode de la liste, cela marche très bien. On pourrait faire des calculs de PPCM avec d'autres méthodes, comme en passant par le PGCD, avec la formule \( \text{PPCM} \times \text{PGCD} = A \times B \). Nous allons simplement continuer à lister nos multiples.
Comment trouver le PPCM de deux nombres en faisant la liste des multiples ?
C'est parti, je cherche tous les multiples de 36 et tous les multiples de 30. Je vous montre comment on peut résoudre ce problème en dressant les listes. Je continue pour la voiture A : j'ai 72, ensuite on peut le faire à la calculatrice si on multiplie par 3, par 4, par 5. Cela fait 108, j'enchaîne, cela fait 144, 180. Je suis allé un petit peu tête baissée sur la première colonne, j'aurais dû avancer en parallèle avec la voiture B.
On voit que pour B, ce sont des multiples de 30, donc il y aura forcément un zéro à la fin. Donc 180 est un très bon candidat pour être notre solution commune. J'ai bien fait de m'arrêter là pour la voiture A, car les nombres précédents ne marcheront pas, c'est certain. Pour la voiture B, après 60 j'ai 90, si je multiplie par 4 j'ai 120, puis 150, et enfin au sixième tour, le 180 !
Au bout de 180 secondes, les voitures A et B vont arriver pile sur la ligne d'arrivée. Qu'a-t-on trouvé ? Le PPCM de 36 et 30, qui est 180. Une notation mathématique pour l'écrire serait : \( \text{PPCM}(36, 30) = 180 \).
Comment convertir des secondes en minutes pour faire la phrase de conclusion ?
On peut maintenant formuler notre réponse : c'est au bout de 180 secondes que la voiture A et la voiture B vont se rencontrer. Pensez à faire une petite phrase de rédaction pour la réponse finale. On peut aussi transformer ce résultat en minutes. 180 secondes, cela fait combien de temps ? Sachant qu'une minute fait 60 secondes, on prend 180 et on le divise par 60, et cela fait bien 3 minutes.
C'est donc au bout de 3 minutes que la voiture A et la voiture B vont se retrouver à la ligne d'arrivée. On peut aussi rajouter pour aller plus loin que, pour la voiture A, c'est au bout de 5 tours (le multiplicateur par 5) qu'elle atteint 180 secondes. La voiture B, de son côté, a fait un tour de plus : c'est en 6 tours qu'elle effectue ses 180 secondes.
Nous avons vu l'essentiel de ce qu'on pouvait vous demander au programme de 3ème sur les nombres entiers. Il y a beaucoup d'histoires de diviseurs, de multiples, et de nombres premiers. Apprenez à bien maîtriser cela et faites des exercices, il n'y a que l'entraînement qui vous permettra d'être parfaitement au point pour le contrôle.
