6. PGCD
Qu'est-ce que le PGCD en mathématiques au collège ?
Allez, on commence un nouveau type d'exercice. Ici, on nous demande le PGCD de deux nombres. On va peut-être se définir ce qu'est le PGCD. Le PGCD, c'est l'acronyme pour dire « Plus Grand Commun Diviseur ». On a fait plein de vidéos juste avant pour dire ce que sont les diviseurs d'un nombre. Les compétences d'avant, on a fait les diviseurs communs. Donc maintenant, on cherche le plus grand diviseur commun, ou commun diviseur.
On va faire exactement ce qu'on faisait avant, c'est-à-dire qu'on va regarder tous les diviseurs de mon nombre de gauche et de mon nombre de droite. On va comparer, on va regarder ce qu'il y a en commun, et on va regarder surtout le plus grand. C'est exactement faire la même chose qu'avant, c'est pour ça qu'on fait les choses dans l'ordre, c'est bien.
Comment trouver la liste des diviseurs pour calculer un PGCD ?
On commence toujours par se demander jusqu'à quel diviseur on va aller. On fait la racine carrée de \(34\), on connaît la petite méthode, ça fait environ... \(6 \times 6\) ça fait \(36\), donc ça va être \(5,\dots\) Et là pour \(85\), la racine carrée de \(85\), j'ai \(81\) donc j'aurai \(9,\dots\) Je vais m'arrêter jusqu'à \(5\) pour le premier, je vais faire tous les diviseurs jusqu'à \(5\). Et je vais faire tous les diviseurs jusqu'à \(9\) pour le deuxième.
Ma petite rédaction c'est ça, je mets toujours le premier, c'est toujours le \(1\) qui est un diviseur. Ici pareil, \(1\) et j'ai \(85\). Après je commence mes petits critères de divisibilité, \(2\), \(3\), \(5\), etc. Est-ce que \(2\) est un diviseur de \(34\) ? Oui bien sûr parce que ça finit par \(4\), donc ça me fait \(2 \times 17\). Le \(3\), je fais \(3 + 4\), ça me fait \(7\), \(7\) ce n'est pas un multiple de \(3\).
Pour \(4\), ce n'est pas un diviseur de \(34\) parce que quand je divise par \(2\), il me reste \(17\), et \(17\) n'est pas un nombre pair donc il n'est pas divisible par \(2\) encore une fois, donc il n'est pas divisible par \(4\). Ensuite, il me reste \(5\). \(5\) ici, pour \(85\), oui parce que ça finit par \(5\), donc ça me fait \(17\). Hop là, un petit multiple en commun. Là j'ai fini pour le premier, je suis allé jusqu'à \(5\).
Comment terminer le calcul et noter le résultat du PGCD ?
Pour \(85\), il faut que j'aille jusqu'à \(9\). \(2\) et \(3\) ce ne sont pas des diviseurs de \(85\) donc je n'aurai surtout pas \(6\). \(7\) non plus parce que je n'ai pas de critère de divisibilité, mais ce n'est pas un diviseur de \(85\). Normalement vous avez peut-être la calculatrice quand vous êtes sur ce genre d'exercice. Vous le faites comme ça avec la calculatrice, \(85\) divisé par \(7\), ça ne va pas vous donner un nombre entier.
Et sinon si vous le faites de tête, \(7 \times 10\) ça fait \(70\), vous allez à \(77\), \(84\), donc on ne tombe pas sur \(85\) si on ajoute deux fois \(7\). \(8\) ce n'est pas un nombre pair, donc on ne le fait pas. Et on arrive enfin à \(9\). \(9\), c'est \(81\) ou \(90\), en tout cas ce n'est pas \(85\). Finalement, les diviseurs, il n'y en avait que quatre pour les deux.
Donc on regarde ce qu'il y a en commun. Il y a le \(1\), le \(17\) oui. Et nous ce qu'on veut, c'est le PGCD, donc c'est le plus grand des diviseurs en commun, donc c'est forcément le \(17\). On peut le noter comme ça, il y a une notation comme ça. Après ça vous voyez avec votre prof, vous regardez sur vos cours comment vous l'avez noté, mais on peut le noter comme ça avec un point-virgule entre les deux et on dit : \[PGCD(34 ; 85) = 17\]
Comment calculer le PGCD de grands nombres comme 321 et 112 ?
Allez, on continue la compétence des PGCD avec cette fois-ci des nombres un peu plus compliqués. La méthode va être un peu plus longue parce que les nombres sont un peu plus grands que ceux qu'on a vus juste avant. Je vous rappelle, on cherche les diviseurs communs des deux nombres et on va garder uniquement le plus grand. On se demande toujours jusqu'où on va aller, on fait la fameuse racine carrée du nombre pour ne pas avoir à tester tous les diviseurs du monde.
Pour \(321\), on va être autour de \(17,\dots\) donc on va s'arrêter à \(17\). Pour \(112\), ça va être juste en dessous de \(11\), donc c'est à peu près \(10,\dots\) On se fiche de la partie décimale, on veut juste savoir le nombre entier jusqu'où on va regarder les diviseurs. On a toujours le \(1\), on peut faire les deux en même temps si vous voulez : \(1\) et \(321\), \(1\) et \(112\).
Le \(2\), pour \(321\) ce n'est pas pair. Par contre \(112\) finit par un \(2\), donc c'est divisible par \(2\), ça fait \(2 \times 56\). Ensuite, \(3 + 2 + 1\) ça fait \(6\), c'est bien un multiple de \(3\), donc \(3\) est un diviseur de \(321\). Je divise par \(3\), ça fait \(107\). Je passe à \(4\). \(4\), pour \(321\), on a vu que ce n'était pas divisible par \(2\) donc ça ne va pas être divisible par \(4\).
Pour \(112\), ma règle à moi c'est : si c'est divisible par \(2\) et que je regarde le multiple qui va avec, ici \(56\), c'est encore divisible par \(2\), donc c'est divisible par \(4\). Pour trouver le produit qui va avec, j'ai juste à rediviser \(56\) par \(2\), ça fait \(25\) plus \(3\), ça me fait \(28\).
Comment utiliser la calculatrice pour trouver les derniers diviseurs ?
Pour \(5\), les deux ne sont pas dans le critère de divisibilité de \(5\). \(6\), il faut à la fois avoir du \(2\) et du \(3\). Ici on a que du \(3\) et ici on a que du \(2\), donc ce n'est pas divisible par \(6\). À la calculatrice, divisé par \(7\) ça ne vous donne rien ici. Par contre ici, si vous le mettez à la calculatrice ça vous donne \(16\), \(7 \times 16\) ça fait \(112\).
Ensuite, j'ai \(8\). Ah ben là ça marche parce que \(4 \times 28\) ça fait \(112\), et \(28\) c'est encore divisible par \(2\), donc c'est aussi divisible par \(8\), ça me fait \(8 \times 14\). Ensuite on arrive à \(9\), ça ne marche pas. \(10\) non plus, \(11\) ce n'est pas divisible par \(11\) les deux à la calculatrice. On passe à \(12\), ici on a fini parce qu'on s'était arrêté à \(10\), donc on ne regarde plus qu'ici.
\(12\), c'est pas divisible par \(2\) donc pas divisible par \(12\). \(13\) à la calculatrice ça ne marche pas. \(14\), c'est pas divisible par \(2\). \(15\) c'est pas divisible par \(5\). \(16\) c'est pas divisible par \(2\). Et \(17\) pareil à la calculatrice ça nous donne un nombre à virgule. Donc en fait il n'y a que quatre diviseurs pour \(321\) et après il y a tous ces diviseurs-là.
Que se passe-t-il quand le PGCD est égal à 1 ?
Maintenant on regarde les diviseurs en commun. Il y a forcément le \(1\). Le \(3\) non, \(107\) non, \(321\) non plus. Bon ben en fait finalement ici, il n'y a pas de plus grand diviseur commun que \(1\). Bon ben voilà, il faut le mettre, ça peut arriver. Donc je le rédige comme ça : \[PGCD(321 ; 112) = 1\]
Vous pouvez faire une phrase, ça dépend un peu de la rédaction que vous avez avec votre professeur à vous. Le plus grand commun diviseur c'est \(1\), en fait il n'y a rien entre \(1\) et \(112\) ou \(321\) qui donne des diviseurs en commun. Donc voilà, ça c'est un autre cas.
Reprenez plein d'exercices comme ça de PGCD, en regardant la méthode avec les diviseurs en commun où on cherche tous les diviseurs avec la racine carrée. Vous avez d'autres méthodes avec des décompositions en facteurs premiers, ça vous verrez avec votre prof. Nous on verra les nombres premiers dans quelques compétences.
