7. Multiples et PPCM
Comment savoir si un nombre est un multiple d'un autre en 3ème ?
On part sur de nouveaux exercices sur les nombres entiers. Ici, on cherche à savoir si \( 36 \) est un multiple de \( 3 \). Est-ce qu'un nombre est un multiple d'un autre ? Il suffit de se ramener sur le vocabulaire qu'on a vu avec l'égalité. On peut même repartir des divisions euclidiennes que vous connaissez bien, avec l'égalité où on disait que ça c'est le dividende, ça c'est le diviseur, ça c'est le quotient, c'est le reste. Le dividende est donc égal au diviseur fois le quotient plus le reste.
Comme on cherche un multiple et un diviseur d'un autre, on n'a plus de reste. Cela veut dire que l'on n'aura pas de nombres à virgule, on n'aura que des entiers. En fait, on se retrouve avec les diviseurs et ici c'est le multiple, c'est bien le vocabulaire qu'on nous demande. On nous demande si \( 36 \) est un multiple de \( 3 \). Si je vous demande les multiples de \( 2 \) par exemple, il y aura forcément \( 2, 4, 6, 8 \), etc. C'est votre table de multiplication que vous connaissez très bien.
Comment utiliser les critères de divisibilité pour justifier un multiple ?
Dans ce cas-là, on va plutôt se ramener à ce qu'on fait depuis tout à l'heure avec les diviseurs. En fait, c'est davantage un raisonnement avec des diviseurs que de tables de multiplication. On va souvent sortir avec des nombres beaucoup plus grands, ou en tout cas qui ne sont pas dans vos tables de multiplication. C'est un raisonnement où on cherche à savoir si \( 36 \) est égal à \( 3 \) fois quelque chose, donc on va regarder un petit peu les diviseurs. Plutôt que de faire comme on avait fait la dernière fois avec \( 1 \times 36 \), etc., là on cherche juste à savoir si \( 3 \) est un diviseur.
On va simplement regarder les critères de divisibilité parce qu'ici c'est \( 3 \). C'est un cas simple pour vous montrer ce qu'est un multiple et ce qu'est un diviseur. Je fais \( 3 + 6 \), c'est le critère de divisibilité : si la somme est un multiple de \( 3 \), c'est bon. Donc \( 3 + 6 \) ça fait \( 9 \), et \( 9 \) c'est bien un multiple de \( 3 \). On peut écrire qu'ici en plus, soit vous faites un petit calcul à la main, soit vous le faites de tête comme moi, je sais que c'est \( 3 \times 12 \). Oui, \( 36 \) est bien un multiple de \( 3 \). Vous faites la petite rédaction et la justification, celle-là est suffisante.
Qu'est-ce que le PPCM en mathématiques et comment le calculer ?
On continue de s'intéresser aux multiples de nombres avec le PPCM. Qu'est-ce que c'est un PPCM ? Ça veut tout simplement dire Plus Petit Commun Multiple. On avait vu le PGCD avant, qui était le Plus Grand Commun Diviseur, donc là maintenant c'est le multiple. Les multiples de \( 2 \) par exemple, il y en a à l'infini : \( 4, 6, 8 \), tous les nombres pairs finalement. Le but du jeu ce n'est pas de vous demander tous les multiples d'un nombre, car contrairement aux diviseurs qui sont assez restreints, ici il y en a une infinité. On va donc demander, entre deux nombres, quel est le plus petit commun multiple.
Si je vous demande par exemple avec \( 3 \) et \( 4 \), c'est plus facile de commencer avec des nombres comme ça. On va regarder déjà quels sont les multiples de \( 3 \). Il y a \( 3 \) forcément, puis \( 6, 9, 12 \), etc. Pour \( 4 \), j'ai \( 8 \), j'ai \( 12 \). C'est là où on se rend compte que parmi les multiples de \( 3 \) et \( 4 \), il y en a un en commun. Je me suis arrêté là, j'aurais pu continuer avec \( 16 \) et la suite, mais je m'arrête parce qu'on cherche le plus petit et celui qui est en commun. C'est exactement ça le but du jeu, chercher à chaque fois les multiples en commun pour identifier le bon.
Comment trouver le PPCM de deux nombres avec la liste des multiples ?
En termes de rédaction, je vais rester simple pour que ce soit le plus intuitif pour vous à comprendre. Vous verrez qu'il y a plusieurs méthodes pour ça, avec des décompositions en facteurs premiers, ou en passant par le PGCD où le produit du PGCD et du PPCM est égal au produit des deux nombres. On ne va pas le faire comme ça ici. On va chercher déjà tous les multiples de \( 24 \) et tous les multiples de \( 15 \), jusqu'à un certain moment où on va en trouver un en commun entre les deux. Je peux me mettre des petits indices et multiplier par \( 1, 2, 3, 4, 5, 6 \), etc.
Ici \( 1 \times 24 \) me fait \( 24 \), puis ça me donne \( 48 \), \( 72, 96 \) et je vais avancer un peu pour arriver à \( 120 \). De l'autre côté pour \( 15 \), ça me donne \( 30, 45 \), je continue pour être le plus proche possible, ça fait \( 60, 75, 90, 105 \) et on arrive à \( 120 \). C'est \( 15 \times 8 \) qui fait \( 120 \), et c'est \( 24 \times 5 \) qui fait \( 120 \). On a trouvé notre PPCM. On peut le noter de cette façon : \( \text{PPCM}(24 ; 15) = 120 \). Au lieu d'avoir le mot "et", on met un point-virgule entre les deux nombres.
À quoi sert le calcul du PPCM dans un problème concret ?
On pourrait se demander à quoi ça sert de faire le PPCM de deux nombres. Ça donne \( 120 \), mais on a du mal à comprendre son utilité directe. Il y a plein d'interprétations possibles à ça. Par exemple, j'ai deux coursiers. J'en ai un qui est en voiture, qui va mettre \( 15 \) minutes pour me faire l'aller-retour. J'ai un autre coursier qui est à vélo, un peu plus écolo mais un peu plus long, qui va mettre \( 24 \) minutes. Je veux savoir, non pas le nombre d'allers-retours qu'ils vont faire, mais à quel moment je vais avoir les deux en même temps au bureau.
S'ils partent le matin en même temps, on sort le chrono. L'un met \( 24 \) minutes, l'autre \( 15 \), ils vont faire des allers-retours. À quel moment vont-ils revenir en même temps au bureau ? Je sais qu'ils y seront en même temps à \( 120 \) minutes. Ce sera au bout de \( 5 \) allers-retours pour l'un, et au bout de \( 8 \) allers-retours pour l'autre, mais l'important c'est de savoir au bout de combien de temps. C'est une interprétation concrète qu'on peut donner à cette histoire de PPCM pour bien comprendre pourquoi on fait ça. C'est bien le plus petit commun multiple entre deux nombres.
