5. Diviseurs communs

Comment trouver les diviseurs communs de deux nombres en 3ème ?

Allez, on part sur un nouvel exercice ici, on cherche tous les diviseurs communs de \(32\) et \(72\). Donc là on a deux nombres, la compétence d'avant on avait vu comment calculer, trouver tous les diviseurs d'un nombre. Donc ici maintenant, c'est tous les diviseurs communs à deux nombres. D'accord ? Vous voyez la nuance ? Allez, c'est parti.

Donc la méthode ici, c'est reprendre la méthodologie d'avant, donc trouver tous les diviseurs, et après comparer entre celui de gauche et celui de droite qui sont en commun. Donc on reprend, nous on avait une rédaction, on faisait par colonne. Après, ça va dépendre de vos profs, je vous le rappelle. Donc je ne reviens pas sur la méthodologie, comment on calcule les diviseurs pour un nombre, ça c'est les compétences d'avant.

On va jusqu'à la racine du nombre. Donc racine de \(32\), je sais que \(25\) c'est \(5\) et \(36\) c'est \(6\), donc là je suis entre les deux. \(32\) c'est bien entre \(25\) et \(36\). Donc je suis entre \(5\) et \(6\). Donc ma racine carrée, c'est \(5\) virgule quelque chose. D'accord ? Si vous avez une calculatrice, vous ne vous embêtez pas, faites-le à la calculatrice, là je le fais un peu de tête comme ça.

Mais je sais que je vais aller au maximum jusqu'à \(5\). Donc je vais le faire avec \(1\), \(2\), \(3\), \(4\) et je vais tester jusqu'à \(5\). Donc est-ce que \(1\) est un diviseur ? Bien sûr, c'est toujours un diviseur. Donc là on peut commencer avec ceux-là.

Quels sont les diviseurs de 32 et 72 ?

On peut mettre en parallèle aussi \(72\). Donc j'ai racine de \(72\), donc on va être entre \(8\) et \(9\). \(9\) c'est \(81\). Donc je vais avoir \(8\) virgule quelque chose. Encore une fois la partie décimale je m'en fous, donc là je vais aller jusqu'à \(8\). Ça marche ?

Donc, les deux, ils sont divisés par \(2\) d'ailleurs, parce que ils finissent par un \(2\), donc c'est bien dans le critère de divisibilité de \(2\). Donc ça me fait \(16\). Ici ça me fait \(36\). OK, donc \(3\), on fait la somme des chiffres, donc \(3\) et \(2\) ça fait \(5\). Ici ce n'est pas un multiple de \(3\) pardon.

Là en même temps qu'on dit, \(7\) et \(2\) c'est un multiple de \(3\), parce que ça fait \(9\), mais c'est aussi un multiple de \(9\). Mais vous voyez, on l'a en dehors, mais vous allez voir, il va quand même réapparaître sur la partie de droite. Donc \(72\) divisé par \(3\) ça fait \(20\) plus \(12\), ça fait \(24\).

Ensuite on passe à \(4\). Est-ce que c'est divisible par \(4\) ? Moi, mon critère à moi, c'est de dire que c'est divisible deux fois par \(2\). Oui c'était divisible par \(2\), et là oui c'est encore divisible par \(2\) parce que ça finit par un \(6\) ici, et le même là. Donc dans les deux cas, ça va être divisible par \(4\).

Donc divisé par \(4\), c'est aussi tout simplement, je redivise le \(2\) encore une fois, donc ça me fait \(8\). \(16\) divisé par \(2\) ça fait \(8\). \(36\) divisé par \(2\) ça fait \(18\). OK ? Donc ça, vous pouvez le taper à la calculatrice, vous allez retrouver ça. Ensuite, \(5\) les deux non.

Comment conclure sur les diviseurs communs de deux entiers ?

Donc attention, on pourrait se dire "on s'arrête là" parce que on cherche les diviseurs en commun. Sauf que, à droite, on peut faire apparaître aussi des diviseurs qui sont ici. Donc on va quand même continuer jusqu'au bout. Donc là on a fini tous les diviseurs de \(32\), on est d'accord, mais on finit quand même pour \(72\).

Donc \(5\) on a dit non, \(6\), je regarde le \(3\), est-ce que je peux le diviser par \(2\) ? Ça c'est ma méthode à moi. Oui. Donc \(6\), je redivise par \(2\), ça fait \(6 \times 12\). Vous faites \(6 \times 10\) ça fait \(60\), plus \(12\) ça fait \(72\). OK.

\(7\) ce n'est pas divisible, \(72\) n'est pas divisible par \(7\), parce que déjà \(7 \times 10\) ça fait \(70\), donc plus \(7\) ça ne marche pas. Et on arrive à notre fameux \(8\). \(8\), vous connaissez vos tables de multiplication, \(8 \times 9\), \(72\). Et c'est là qu'on retrouve le \(9\) avec le critère de divisibilité.

Maintenant, ce n'est pas fini, on ne dit pas "oui c'est tous ces nombres-là", on cherche en commun. D'accord ? Donc là, je peux enlever mes racines, j'ai trouvé tous les diviseurs des deux nombres. Maintenant, on va aller sélectionner ceux qui sont en commun.

Donc il y a forcément le \(1\), il y a forcément le \(2\), le \(4\). Voilà, maintenant, je peux le faire avec la colonne de droite, après je vais passer... Vous voyez que c'est plus intéressant de partir sur le nombre qui a le moins de diviseurs et de regarder à celui qui en a le plus, plutôt que de faire l'inverse. Parce que là, vous allez chercher plus de nombres, alors que là vous êtes sûr que de toute façon vous n'allez pas dépasser ces nombres-là.

Donc au maximum, il y en aurait eu six diviseurs en commun. Donc le \(8\) y est aussi, le \(16\) il n'y est pas, le \(32\) non plus. Donc en fait, on a quatre nombres en commun. On peut entourer celui-là. Qui sont, là vous faites une phrase, "les diviseurs communs de \(32\) et \(72\) sont \(1\), \(2\), \(4\) et \(8\)". Ça marche ?

Comment trouver les diviseurs communs de 128 et 288 ?

Est-ce que c'est compris ? Donc si vous avez des problèmes avec trouver les diviseurs, revenez sur la compétence d'avant. Là c'était la première partie sur trouver les diviseurs communs. On en fait juste une autre avec des nombres avec la centaine. Bon vous voyez que la méthode, c'est celle-ci, vous n'avez pas besoin de vous faire plus peur que ça.

C'est juste entraînez-vous, parce que ça, on a l'impression que c'est simple. Pour la méthode, donc travaillez-vous avec la méthode de votre prof, faites attention comment votre prof le fait, moi je le fais comme ça en termes de rédaction, et entraînez-vous. Entraînez-vous à trouver des diviseurs, chercher des diviseurs communs avant de passer à la compétence qui sera après sur le PGCD. Le fameux PGCD, je ne vous en parle pas plus, c'est pour une prochaine.

Allez, on se fait un deuxième exemple avec les diviseurs communs qu'on cherche entre deux nombres. Donc ici, c'est \(128\) et \(288\). L'exemple d'avant on avait fait un truc un peu plus simple avec juste des nombres à la dizaine, là on a à la centaine. On va voir, bon forcément ça risque d'être un peu plus long, mais pas forcément.

On se remet d'abord la méthodologie, on cherche tous les diviseurs de \(128\), tous les diviseurs de \(288\). Après on compare, on regarde tous les diviseurs qui sont en commun. Si vous avez des difficultés pour trouver les diviseurs communs, vous allez sur les cours d'avant qui parlent de ça.

Comment utiliser la racine carrée pour chercher des diviseurs ?

Donc moi ma rédaction, je l'ai faite en colonne comme ça, en disant que c'est un produit à chaque fois qui équivaut à \(128\), c'est comme ça que je représente mes diviseurs. Alors, on peut faire la racine carrée d'ailleurs, tout de suite, de \(128\). Je sais que \(11^2\) ça fait \(121\), donc ça va être \(11\) virgule quelque chose. Parce que \(12^2\) va être \(144\).

Et \(288\), là vous faites normalement, pour ce genre d'exercice, vous avez la calculatrice. Mais ça fait environ \(16\) virgule aussi quelque chose, je crois que c'est pas loin de \(17\). Et voilà, donc là on va aller jusqu'à \(11\) max, là on va aller jusqu'à \(16\) max. Ça marche ?

Allez on s'attaque, on sait qu'on a toujours le \(1\) en commun, ensuite \(128\), le nombre, il est forcément aussi le diviseur. On sait qu'on est dans la table de \(2\) aussi. On a le critère de divisibilité des \(2\) qui est validé, \(8\), \(8\), c'est dans le critère de divisibilité. Ça fait \(64\) ici, ici ça fait \(144\).

Maintenant le critère de divisibilité de \(3\). Est-ce que c'est divisible par \(3\) ? Je fais \(1 + 2\) ça fait \(3\), \(3 + 8\) ça fait \(11\). \(11\) ce n'est pas un multiple de \(3\). Donc là on n'aura pas de \(3\). Ici, on a \(2 + 8\) ça fait \(10\), plus \(8\) ça fait \(18\).

Oui, c'est un multiple de \(3\). Donc ça divisé par \(3\), ça nous fait quelque chose qui est de l'ordre de... qui fait \(96\). Donc calculatrice, si c'est difficile de le faire de tête.

Quels sont les critères de divisibilité pour 4, 6 et 8 ?

Ensuite on passe à \(4\). \(4\), c'est, on reprend le critère de \(2\) parce que \(4\) c'est \(2 \times 2\). Donc est-ce que je peux rediviser par \(2\) ? Oui, dans les deux cas d'ailleurs, parce qu'on finit par \(4\) et par \(4\). Donc là j'ai forcément un \(4\). Donc ça me fait \(32\), je redivise ça par \(2\) en fait. Et là, pareil, c'est ma petite méthode, je redivise ça par \(2\), ça me fait \(72\). Donc là c'est bien le critère de \(4\).

Allez, ensuite, on a le \(5\), il n'y est pas dans les deux cas parce que c'est \(0\), \(5\). \(6\), \(6\) c'est \(3 \times 2\). Donc si on a le diviseur \(2\) et \(3\), oui c'est divisé par \(6\). Ici il y est, ici non parce qu'on ne s'était pas divisé par \(3\). Donc forcément ce n'est pas divisé par \(6\). Donc moi ma méthode, c'est je reprends le \(3\), le diviseur qui allait avec \(3\), et je le redivise par \(2\). Voilà, c'est ça. Donc ça me fait quelque chose de l'ordre de \(48\), c'est ça. Voilà.

Ensuite, le \(7\), le \(7\) ça n'y est pas. \(8\), \(8\), je regarde le \(4\), est-ce que je peux le rediviser par \(2\) ? Bah oui, donc c'est aussi divisible par \(8\). Donc ça me fait \(16\). Donc ici on en était où ? Le \(4\), oui aussi. C'est aussi divisible par \(8\). Ça me fait \(36\) si je ne dis pas de bêtises.

Et cætera, et cætera. Le \(9\) ce n'est pas divisible par \(3\), donc ça n'y est pas. Le \(9\), on avait dit que ça faisait \(18\), donc forcément ça... est-ce que je peux le rediviser par \(3\) en gros ? Oui, on a fait \(6\) machin... Donc ça me fait, le \(9\) est dedans. Le \(9\) est dedans donc du coup ça me fait \(32\), si je ne dis pas de bêtises.

Comment terminer la liste des diviseurs d'un grand nombre ?

On avance, on avance. Bon ben là, on voit qu'il y a beaucoup de diviseurs quand même pour le \(288\). Donc là on va aller jusqu'à \(16\), je me fais un peu de place. Et le \(9\), donc ça fait \(32\), après le \(10\) on avait dit que non, le \(11\) non plus.

Le \(12\), le \(12\) c'est en fait, c'est \(6 \times 2\). Donc est-ce que je peux rediviser par \(2\) ? Ah oui, là j'ai un \(12\). Donc \(12\), alors je prends ça, je divise par \(2\), ça fait tout simplement \(24\). Qu'est-ce qui va nous donner ensuite le \(13\) ? Le \(13\) ce n'est pas dedans, le \(14\) ce n'est pas dedans parce que c'est \(7 \times 2\), on n'avait pas le \(7\). Le \(15\) on n'a pas de \(5\).

Et on arrive enfin au \(16\). Le \(16\) je regarde en fait, tout simplement le \(8\). Si je peux encore le diviser par \(2\), le multiple qui va avec. Là j'ai \(36\), c'est divisé par \(2\) ça fait \(18\). Voilà. Donc le \(16\)... bah vous voyez en fait, j'avais dit qu'on pouvait s'arrêter là, mais non, il fallait aller jusqu'au bout, parce que on a le \(16\) qui apparaît ici et ici. Donc il faut vraiment aller faire tous les diviseurs.

Comment lister tous les diviseurs communs à 128 et 288 ?

Donc maintenant on regarde, ici avec ici. On regarde toujours le nombre qui a le moins de diviseurs et on compare à chaque fois. Oui il y a le \(1\), il y a le \(2\), il y a le \(4\), il y a le \(8\), il y a le \(16\), du coup, le fameux \(16\). Le \(32\), il y est aussi. Le \(64\), il n'y est pas, le \(128\) il n'y est pas.

Et voilà, donc on a six nombres. Alors là vous faites une phrase : "Tous les diviseurs en commun sont \(1\), \(2\), \(4\), \(8\), \(16\) et \(32\)". Ça marche ? Vous faites une phrase en réponse.

Et voilà, entraînez-vous à faire d'autres exos avec trouver des diviseurs communs, parce que vous en aurez besoin, de cette méthode-là. Si vous maîtrisez cette compétence, vous n'aurez plus de souci pour le PGCD, le Plus Grand Commun Diviseur, qu'on va voir juste après. Donc entraînez-vous avant de partir sur la suite et je vous dis à bientôt.