9. Décomposition et facteur premier

Qu'est-ce qu'un nombre premier et comment le reconnaître ?

Allez, on passe sur une nouvelle compétence ici, c'est la décomposition en facteurs premiers. On se rappelle sur les compétences d'avant qu'on a fait des décompositions de nombres en facteurs. Ça peut être 1, 2, 3, 4, 5, 6, et pas que les nombres premiers. Alors, petit rappel, c'est quoi un nombre premier ? Un nombre premier, c'est un nombre tel que l'on peut toujours le décomposer, c'est un multiple avec les diviseurs, mais lui, il a seulement deux diviseurs, et seulement deux, qui sont lui-même et 1. Par exemple, 7, la seule décomposition en produit, en facteurs comme ça, que je peux écrire avec des entiers, c'est \( 7 \times 1 \). Si je fais \( 2 \times 3 \), ça ne marche pas. Quand je reste dans ce schéma-là, la seule chose que je peux faire, c'est ça.

C'est des nombres qu'on doit apprendre un petit peu par cœur. Donc il y a 2, 3, 5, 7, 11, et cetera, à l'infini. Rappelez-vous au moins des cinq ou six premiers nombres premiers. Alors, il y a le 1 aussi, je n'en ai pas parlé. Le 1, ce n'est pas un nombre premier parce que la seule chose que je peux écrire, c'est \( 1 \times 1 \). On a dit qu'il faut absolument deux diviseurs, et seulement deux diviseurs. Donc 1 et 1, c'est le même. Lui, il n'a qu'un seul diviseur, donc ce n'est pas un nombre premier. C'est un petit peu la spécificité. Donc nous, on ne va pas dire que dans notre décomposition il y aura 1, parce que ce n'est pas un nombre premier.

Comment utiliser la racine carrée pour décomposer un nombre en facteurs premiers ?

Donc en fait, on reprend un petit peu la stratégie qu'on avait avant avec la décomposition. On regarde à chaque fois jusqu'à la racine carrée. Donc là ici, c'est \( \sqrt{26} \). On n'est pas obligé d'aller jusqu'à 26 pour tester tous les nombres premiers. On peut s'arrêter à la racine carrée. Ma stratégie, généralement vous la tapez à la calculatrice, mais moi je sais que \( 5^2 \) ça fait 25, et \( 6^2 \) ça fait 36. Donc je suis pile entre les deux, je vais être à quelque chose comme \( 5,\dots \). La partie décimale, je m'en fous parce que moi je veux savoir à quel entier je vais m'arrêter. Et ici, je vais tester jusqu'à 5. Donc je vais tester avec 2, 3 et 5, tout simplement.

Je commence avec 26. Ça c'est ma rédaction, mais il y a plusieurs façons de le rédiger. Je me mets une colonne. Je teste déjà avec 2. J'ai le droit avec 2 pourquoi ? Parce que 26 c'est divisible par 2, vous connaissez vos critères de divisibilité. Qu'est-ce que j'ai ? J'ai 13. Là, je ne peux plus rediviser par 2. Je reprends, le 3 je ne peux pas parce que \( 1 + 3 \) ça fait 4, ça ne fait pas partie. Et 5, pareil, ça ne finit pas par un 0 ou un 5, donc ce n'est pas dans les critères de divisibilité. Donc je m'arrête là. Ce que je peux écrire aussi à la fin en rédaction, c'est que 26 est égal à \( 2 \times 13 \). Ma décomposition de facteurs, elle se trouve à droite pour le coup. C'est \( 2 \times 13 \) tout simplement, et \( 2 \times 13 \) ça fait bien 26. C'est les seuls facteurs premiers que j'aurai pour 26.

Comment rédiger la décomposition en facteurs premiers d'un grand nombre ?

On continue avec la décomposition en facteurs premiers, ici on fait 117. On a vu tout à l'heure qu'on va regarder déjà la racine carrée de 117. Pourquoi ? Pour savoir jusqu'à quel facteur on va arrêter la décomposition. Je sais que \( 10 \times 10 \) ça me fait 100, et \( 11 \times 11 \) ça me fait 121. Donc je suis entre 10 et 11. Je sais que c'est environ \( 10,\dots \). On s'en fout un petit peu de la précision, parce que moi je vais m'arrêter à 10. Donc 10, ce n'est pas un nombre premier d'ailleurs. On peut se remettre les premiers : il y a 2, 3, 5, 7, 11, allez on peut aller même jusqu'à 13. C'est un petit peu les facteurs premiers que vous pourrez trouver.

On va commencer avec 2, après on va faire le maximum de fois une décomposition par 2, après on va passer à 3, et cetera. Je prends mon 117, je me mets une colonne pour me mettre à droite tous les facteurs premiers que je vais trouver. Le 2, ce n'est pas dedans parce que ça finit par 7, ce n'est pas un nombre pair. Après je passe à 3. Pour la méthode de 3, c'est \( 1 + 1 + 7 \), ça me fait 9. 9 c'est bien un multiple de 3, donc je peux diviser par 3. De tête, ou à la calculatrice, on voit que 117 divisé par 3, ça fait 39.

Comment écrire la décomposition finale avec des puissances ?

Pour 39, \( 3 + 9 \) ça fait 12, donc c'est encore divisible par 3. Donc on peut remettre un 3. On peut le faire aussi de tête, ça fait 13. Après on peut essayer avec 5, 7, 11, et cetera, mais on va voir que de toute façon, ça ne fait pas partie des critères de divisibilité. 5, ça ne finit pas par 0 ou 5. 7, on n'a pas de critère de divisibilité mais vous le testez à la calculatrice, ça ne fait rien. 11 pareil. On arrive enfin à 13, et c'est ce qui nous restait ici, donc c'est le dernier. On avait passé le 10, mais c'est parce que justement on a testé tout ce qu'il y a avant. Il y avait 2, 3, 5, 7, et le 11 je n'avais pas besoin de le tester d'ailleurs, parce que j'étais au-dessus de 10. Et à la fin, il me reste juste le 13, qu'il ne faut pas oublier, parce que ça fait aussi partie des facteurs premiers.

Finalement, je peux écrire aussi, c'est une autre façon de l'écrire : \( 117 = 3 \times 3 \times 13 \). Vous le tapez à la calculatrice, ça fait bien 117. Mais ce qu'on va même préférer, quand il y a plusieurs facteurs qui se répètent, c'est passer avec les puissances. Et là, il y a juste un \( 3^2 \times 13 \). Donc : \[ 117 = 3^2 \times 13 \] C'est le résultat qu'on attend, c'est une décomposition de ce nombre en facteurs premiers. Il y a des puissances qui apparaissent quand il y a plusieurs fois le même facteur.