2. Relatifs : somme

Comment simplifier l'écriture d'une somme avec des nombres relatifs ?

Allez, on commence tout de suite à mettre en application les calculs numériques avec les nombres relatifs. Là, on va faire juste des petites sommes avec des nombres positifs ou négatifs. Ça va paraître un petit peu simpliste pour certains, je le comprends, mais c'est important de s'arrêter sur cette notion-là. En introduction, on a vu toute cette histoire de règle des signes avec les additions, les soustractions, et la règle des signes avec les multiplications et les divisions.

C'est pour ça qu'il y a des parenthèses. Soustraire, on peut dire que c'est la même chose que \( 3 - 4 \). Le plus et le moins, on a vu que le moins l'emportait. Vous vous en souvenez de ce qu'on avait dit : quand je soustrais, c'est comme une addition avec le nombre opposé de ce qu'il y a à droite. L'opposé de \( 4 \), c'est \( -4 \). C'est une autre façon d'écrire une soustraction. En maths, on peut l'écrire comme ça.

C'est juste pour vous montrer ces cas-là, mais vous voyez qu'il n'y a rien de compliqué. Le calcul \( 3 - 4 \), c'est tout simplement \( -1 \).

Comment faire une soustraction avec un nombre plus grand ?

Pour ceux qui ont des difficultés, je sais que ça arrive même au lycée, on a toujours des petites difficultés sur ce genre de cas où je soustrais par un nombre qui est plus grand à droite. Ma façon de faire, c'est que je prends toujours le nombre le plus grand et je le soustrais par le plus petit. Donc je fais \( 4 - 3 \), ça me fait \( 1 \), et je rajoute le signe négatif parce que je sais que c'est le plus grand qui était négatif. Donc forcément, le résultat va être négatif. C'est ma façon de faire, c'est une façon de voir.

Ça paraît encore anodin, mais c'est très important de se dire, quand on a une différence de deux nombres, donc une soustraction entre deux nombres positifs, ou une somme avec un nombre positif et un nombre négatif, c'est chercher la distance entre ces deux valeurs. Retenez bien cette notion de distance quand on fait une différence entre deux nombres, parce que l'an prochain, vous verrez les valeurs absolues. C'est un truc qui fait un peu mal à la tête, la valeur absolue, mais c'est exactement cette notion-là. En troisième, on ne voit pas ça, mais c'est bien d'enregistrer ce genre de choses.

Une autre façon de voir le \( 3 - 4 \), je sais que des fois ça aide, c'est que je peux raisonner aussi en étages. Je prends mon ascenseur, je monte de trois étages, je reprends l'ascenseur et, cette fois-ci, je descends de quatre étages. Il y en a qui arrivent à le visualiser comme ça. Souvent, ces trucs assez abstraits, qui sont des chiffres pour certains, mettez-les en application dans la vie de tous les jours. Je prends trois œufs, je t'en retire quatre, forcément, j'en ai \( -1 \).

Comment additionner ou soustraire deux nombres négatifs au collège ?

On continue avec \( -7 + (-3) \). On a vu qu'additionner un nombre négatif, c'est comme le soustraire. Donc c'est \( -7 - 3 \). Là, les deux sont négatifs, donc je peux les additionner, si je peux dire ça, et ça me fait \( 10 \). Et comme les deux sont négatifs, ça fait \( -10 \).

Alors ça, c'est intéressant, là on commence à avoir du moins moins quelque chose avec \( 2 - (-9) \). La règle des signes, on l'a vue tout à l'heure : quand on soustrait un nombre négatif, il devient positif. Super. Donc j'ai \( 2 + 9 \), ça me fait \( 11 \). Faites les exercices sur le côté. Mettez ça en application, ça a l'air très simple, je sais, mais souvent, c'est là où il y a le piège. C'est là où on fait des petites erreurs en maths, c'est quand on se dit que c'est maîtrisé et c'est là où on se casse les dents.

Juste avant de partir, n'oubliez pas aussi de toujours mettre en valeur votre résultat. Donc là je vais juste le souligner, mais vous pouvez le surligner, vous pouvez l'encadrer, etc. Mettez toujours votre petit résultat en valeur.

Comment calculer une expression avec plusieurs nombres relatifs et des parenthèses ?

Nouveau cas de calcul avec les nombres entiers relatifs. Cette fois-ci, on enchaîne plein de petites sommes et de soustractions comme ça. Ça paraît compliqué, mais ça ne l'est pas du tout. En tout cas, ceux qui ont dit que c'était très facile sur ce qu'on vient de voir, et qui maintenant disent que c'est compliqué, ils se trompent, parce que c'est juste plus long. C'est exactement le même raisonnement.

Vous vous rappelez les règles, attention aux règles avec les priorités des opérations mathématiques : toujours les parenthèses en premier. Ensuite les multiplications ou divisions, mais là il n'y en a pas, et enfin les additions et soustractions. En vrai, ici on s'occuperait des parenthèses avant de calculer l'ensemble.

On pourrait directement enlever les parenthèses en changeant le signe ici, parce que j'ai un moins, et à l'intérieur j'ai une soustraction, donc je change le signe de chacun dedans. Mais ça, c'est plus un raisonnement de calcul littéral, donc ne vous embêtez pas à faire ce raisonnement parce que vous allez vous tromper une fois sur deux. Pour le calcul numérique, ne vous embêtez pas, vous faites déjà votre calcul à l'intérieur, et puis après vous faites attention à votre signe devant.

Comment respecter les étapes de calcul d'une expression avec des nombres relatifs ?

Moi je me fais le calcul entre parenthèses : \( 5 - 12 \). Vous vous en rappelez, j'ai le nombre qui est négatif qui est plus grand, donc ça va être forcément négatif. Je vous dis, vous faites \( 12 - 5 \) et après vous passez en négatif, donc du coup ça fait \( -7 \). Ayez un peu votre méthode à vous, de vous dire : « je monte des étages, je descends des étages », ou « je fais la différence entre les deux et je le mets négatif ».

Donc là, je peux enlever les parenthèses, plutôt que de dire \( + (-4) \), je vais mettre directement \( -4 \), ça c'est normalement acquis. Et là pareil, on a vu le cas de \( - (-9) \), ça fait positif. Encore une fois, on s'est bien attardé là-dessus, sur tous ces cas de signes en introduction, je vous ai mis toutes les règles de calcul, donc revenez sur ça si ce n'est pas clair.

Allez on enchaîne. Donc là j'ai \( -17 \), on va le faire quand même dans l'ordre, moins moins ça fait \( +7 \). Donc \( -4 + 9 \), on peut commencer à le faire aussi, donc j'ai \( 9 - 4 \), ça on comprend bien, ça donne \( +5 \).

Allez, \( -17 + 7 \), ça fait \( -10 \). On va quand même le faire par étapes gentiment, tranquillement, on prend notre temps. Et enfin on obtient \( -5 \). J'espère qu'on a le même résultat.

Ça me ferait vraiment plaisir que vous ayez le même résultat, et puis si vous n'avez pas le même résultat, faites les exercices sur le côté. Vous avez plein d'exercices pour vous entraîner sur ce genre de calcul. On se fait une autre notion, la prochaine ce sera sur les décimaux, donc les chiffres à virgule, pour voir comment on fait les sommes et les soustractions avec ça.