7. Puissance : simplifier produit quotient puissance de puissance

Comment simplifier une expression avec des puissances de même base ?

Allez, on attaque cette compétence avec des combos de puissances à simplifier, donc avec des produits de puissances, des quotients de puissances. Donc là, on voit qu'on a une puissance, je vous la lis à haute voix parce que c'est peut-être mal écrit, c'est \(\frac{3^8 \times 3^{-11}}{(3^{-2})^3 \times 3 \times 3^3}\). Ce qui est bien, c'est qu'on sait simplifier des puissances quand elles ont la même base. Ici on a toujours la même base, c'est \(3\) partout. Donc on sait qu'on va tout ramener sur un \(3\).

On va s'occuper du numérateur ensemble et du dénominateur ensemble. On pourra tout rassembler avec le produit. Le produit, je vous rappelle la règle, c'est quand j'ai \(a^n \times a^m\), je peux faire la somme des puissances et tout ramener sur la même base. On va commencer par ça. Au numérateur, on a \(3\) à la puissance \(8 + (-11)\). Avec les sommes de relatifs, on sait que \(+ (-11)\) ça fait \(-11\), donc \(8 - 11\) fait \(-3\).

Comment calculer le dénominateur avec une puissance de puissance ?

En bas, c'est là où ça se complique. Là, j'ai besoin de la deuxième règle que vous connaissez par cœur. Quand j'ai une puissance de puissance, avec les parenthèses comme ça, je fais cette fois-ci un produit au niveau des puissances. Pour \((3^{-2})^3\), je vais le noter, c'est \(-2 \times 3\). Qu'est-ce qu'on va faire de ce \(3\) tout seul ensuite ? Il est bien ce \(3\) mais il est un peu embêtant en même temps parce que je n'ai pas de puissance apparente. Qu'est-ce que c'est un entier ? N'importe quel nombre, on peut le mettre à la puissance \(1\), il y est une fois. C'est comme multiplier par \(1\) ou diviser par \(1\). C'est ce genre de petite astuce mathématique, on peut donc faire apparaître un petit \(1\).

Ici j'ai \(-6\), on va commencer à tout mettre sur la même base au dénominateur. Maintenant que j'ai fait le produit, je peux faire la somme de chaque puissance, donc \(-6 + 1 + 3\). Après on va se rappeler aussi comment on fait avec le quotient. Le calcul de \(-6 + 1 + 3\) me donne \(-2\). J'ai donc au total l'expression \(\frac{3^{-3}}{3^{-2}}\).

Comment transformer un exposant négatif en fraction ?

Et là, deux solutions : soit je ramène tout au numérateur, soit je ramène tout au dénominateur. Moi je vais tout ramener au numérateur juste pour vous montrer dans un sens, mais en fait ce serait même mieux dans l'autre sens parce que j'aime bien avoir des puissances positives à la fin. Si je ramène le dénominateur \(3^{-2}\) au numérateur, on utilise la petite règle des quotients. Quand on a la même base, on a vu que le produit c'est une somme, la division c'est une soustraction. C'est \(a^{n - m}\).

Donc dans mon cas, j'ai \(3^{-3 - (-2)}\). Petite notion de soustraction de relatifs ici : \(-3 - (-2)\), ça fait \(-3 + 2\), donc j'ai \(3^{-1}\). C'est pour ça que je vous disais que c'était peut-être plus intéressant de le passer dans l'autre sens. Mais vous connaissez aussi une déduction de cette propriété qui vous dit que \(\frac{1}{a^n} = a^{-n}\). Donc là j'ai bien \(a^{-n}\), c'est \(3^{-1}\), et je peux dire que c'est \(\frac{1}{3^1}\). Sauf que \(\frac{1}{3^1}\) c'est tout simplement \(\frac{1}{3}\). C'est quand même plus compréhensible pour le plus grand nombre d'écrire un tiers que trois puissance moins un.

Comment simplifier un produit de fractions avec des puissances de bases différentes ?

Allez, on continue les calculs sur les puissances de puissances, les puissances fois des puissances, des puissances sur des puissances. Ici on a du \(\pi\) avec une puissance \(-5\), sur du \(6^3\), multiplié par une fraction à la puissance \(-2\). L'expression complète est \(\frac{\pi^{-5}}{6^3} \times \left(\frac{6^{-1}}{\pi^3}\right)^{-2}\). Ceux qui ont bien compris savent qu'on va arriver à la fin avec du \(\pi\) et du \(6\) parce que ce sont les deux bases qu'on a. En simplifiant tout ça, on va obtenir normalement \(\pi\) puissance quelque chose et \(6\) puissance quelque chose.

On respecte toujours l'ordre des opérations mathématiques, c'est-à-dire les parenthèses qu'on va plutôt gérer en premier. Là on n'a pas vraiment de simplification directe à l'intérieur. Je vous rappelle encore une fois que quand on a un quotient avec des puissances, par exemple \(\left(\frac{a}{b}\right)^n\), c'est celui d'en haut sur celui d'en bas. Mais là on n'a pas la même base, donc je ne peux pas l'appliquer avec le \(\pi\). Le \(\pi\), pour ceux que ça dérange, c'est une lettre qu'on a donnée pour représenter un nombre. On va juste réécrire pour l'instant ce qu'il y avait déjà devant, c'est-à-dire \(\frac{\pi^{-5}}{6^3}\).

Comment distribuer un exposant négatif sur une fraction en mathématiques ?

Ici, c'est une règle : quand j'ai une fraction avec une puissance, qu'est-ce qui se passe si j'enlève les parenthèses ? La puissance va aller à la fois sur le dénominateur et le numérateur. J'ai une sorte de distribution. Le truc c'est que je n'ai pas que ça, j'ai à la fois ce cas-là, mais j'ai aussi une puissance de puissance. Quand j'ai une puissance de puissance, \((a^n)^m\) avec les parenthèses comme ça, on fait le produit pour enlever les parenthèses.

On va l'écrire quand même, au numérateur on a \(6^{-1 \times (-2)}\). Encore une fois, là vous voyez l'importance de bien maîtriser le calcul numérique sur les entiers relatifs, les sommes d'entiers négatifs, positifs, ainsi que les produits. Si vous avez déjà un problème de signe avec ça, vous ne pouvez même pas vous intéresser aux puissances. En bas, on a \(\pi^3\), ça ne bouge pas, mais je distribue la puissance, ce qui donne une puissance de puissance : \(\pi^{3 \times (-2)}\).

Comment multiplier deux fractions avec des puissances ?

Maintenant, je vous rappelle les formules : quand j'ai un produit de type \(\frac{a}{b} \times \frac{c}{d}\), on fait numérateur fois numérateur, dénominateur fois dénominateur. Je peux dire que c'est une seule fraction. Je vais juste réécrire pour simplifier encore une fois. Pour le \(6\), on a \(-1 \times (-2)\), moins fois moins je sais que c'est positif, et \(1 \times 2 = 2\). Pour le \(\pi\) au dénominateur, on a \(3 \times (-2)\), un positif fois un négatif donne une puissance négative, et \(3 \times 2\) ça fait \(6\), donc on a \(\pi^{-6}\).

Maintenant, malgré le fait que je n'ai pas les mêmes bases partout, je peux rassembler les bases qui sont similaires, communes. Donc le \(\pi\) d'un côté et le \(6\) de l'autre. Je peux tout ramener au dénominateur ou tout ramener au numérateur. On va plutôt préférer de tout ramener au numérateur. J'en ai le droit grâce à la propriété des quotients. Je peux passer ce qu'il y avait en bas vers le haut en mettant tout sur la même puissance.

Comment regrouper les puissances de même base dans une expression fractionnaire ?

Comme j'ai un produit partout, je n'ai pas de signes plus, attention. Si vous avez des additions, vous ne pouvez pas le faire. Là c'est possible parce que je n'ai que des produits sur des produits. Je mets les \(\pi\) ensemble, ce qui me fait \(\pi^{-5 - (-6)}\) au niveau de la puissance. Pour les \(6\), je fais pareil, ce qui donne \(6^{2 - 3}\).

Les plus malins d'entre vous auraient plutôt dit qu'au lieu de tout passer au numérateur, on peut passer le \(6^2\) en bas parce que j'ai une puissance au dénominateur qui est supérieure à celle-là. En fait, quand je le descends, je peux avoir \(\frac{1}{a^{m - n}}\), on change simplement les signes des puissances. Mais continuons avec notre méthode : j'ai \(-5 - (-6)\), moins moins \(6\) ça fait \(+6\), et \(6 - 5\) ça fait \(1\). J'ai donc tout simplement \(\pi^1 \times 6^{-1}\). Sauf que \(\pi^1\) c'est tout simplement \(\pi\), et comme on l'a vu plein de fois, \(6^{-1}\) c'est l'inverse, comme diviser par \(6\). Le résultat final est donc \(\frac{\pi}{6}\).

C'est de la recette de cuisine. Franchement, même au lycée vous verrez que si vous faites bien vos fiches, c'est juste appliquer des formules, c'est tout. Il y a un petit peu de raisonnement de temps en temps mais ce n'est pas plus compliqué que ça. Entraînez-vous avec les exercices, nous on se fait encore d'autres cas bien plus ardus juste après.