5. Puissance : calcul et simplification

Qu'est-ce qu'une puissance et comment définir la base et l'exposant en mathématiques ?

On continue le calcul numérique avec les puissances. Qu'est-ce que c'est une puissance ? C'est quelque chose qu'on va noter \(a^n\). Le \(a\), avec un peu de vocabulaire je vous le rappelle, c'est ce qui s'appelle la base. Par exemple, je vais vous mettre un exemple en même temps, la base \(2\). Et la puissance, c'est ce qu'on va mettre en exposant ici. Ici par exemple \(3\). Quand l'exposant est \(3\), on peut dire aussi "au cube". Quand c'est \(2\), c'est "au carré". Et après, sinon, on dit plutôt "puissance 4", "puissance 5", et cetera.

Qu'est-ce que c'est concrètement ? C'est le nombre de facteurs où \(a\) se multiplie par lui-même. Vous connaissez tous le carré : \(2^2\), c'est \(2 \times 2\). Le cube, c'est \(2 \times 2 \times 2\). On peut aller comme ça à l'infini. C'est le nombre de fois où le facteur \(a\) va se répéter. Donc il y a \(n\) facteurs. Ça, c'est pour la partie un peu cours, vous pouvez ficher ça. L'exemple ici, je vous le mets, \(2^3 = 2 \times 2 \times 2\). C'est juste une écriture mathématique pour simplifier ça, plutôt que d'avoir des rangées à l'infini. Là j'en ai que trois, mais je pourrais en avoir 5, 10, 15, 20. Les puissances permettent de tout ramener sur deux chiffres de cette manière.

Quelle est la différence entre une puissance et une multiplication au collège ?

Surtout, il ne faut pas confondre avec le produit. Souvent, je vois \(2^3\) et on me met que c'est égal à \(6\). Pourquoi ce n'est pas égal à \(6\) ? Parce que c'est \(2 \times 2 \times 2\), ce qui fait \(4 \times 2\), ça fait \(8\), donc c'est différent. Souvent l'erreur qu'on peut retrouver, c'est de faire \(2 \times 3 = 6\). Ce n'est pas \(2 \times 3\), on voit bien la différence.

Pour \(2 \times 3\), si vous voulez un parallèle avec ça, ça ressemble un petit peu à la puissance, sauf qu'au lieu de multiplier par lui-même, on va l'ajouter par lui-même trois fois. Et comme je dis trois fois, j'écris \(3\) forcément. Donc de manière générale, pour vraiment marquer la différence entre puissance et produit, c'est que j'ajoute quand c'est un produit et je multiplie quand c'est une puissance. Ce ne sont pas des facteurs pour le coup de la multiplication, ce sont \(n\) termes, parce que c'est une somme. Notez surtout ça si cette histoire de différence entre la puissance et le produit n'était pas claire. Ça peut être pas mal de se rappeler qu'une multiplication, c'est le nombre de fois où le \(a\) est dans la somme, et la puissance c'est dans le produit.

Comment multiplier et diviser des puissances d'un même nombre ?

Maintenant, je vais vous donner les règles de calcul très importantes pour calculer les puissances. Je vais vous les donner de façon exhaustive, ça veut dire que je vais essayer de vous donner le maximum de formules que vous pouvez avoir. Après, selon les profs que vous allez avoir, faites attention à ce qu'ils vous donnent comme règles et calculs comme exercices, et vous piocherez là-dedans. Moi, j'essaie de vous donner le maximum.

On va commencer par la première formule :

Ça, c'est quand on a un produit de la même base. Attention, il faut que ce soit la même base. On a une somme au niveau des puissances. On peut s'en rendre compte très vite quand on fait \(2^2 \times 2^3\). \(2^2\), c'est \(2 \times 2\), fois \(2^3\), c'est \(2 \times 2 \times 2\). Quand je compte le nombre de facteurs que j'ai, j'ai \(5\) facteurs. Donc j'ai bien la somme de \(2 + 3\). Retenez bien qu'il faut d'abord avoir un produit avec la même base et au niveau des puissances, on a juste à les ajouter.

Maintenant qu'on a vu le produit, on peut parler du quotient. Ça va de pair. Et par déduction, si on fait une somme quand il y a un produit, on fait une soustraction quand c'est un quotient :

Prenons un autre cas, j'ai \( \frac{5^4}{5^2} \). C'est-à-dire \( \frac{5 \times 5 \times 5 \times 5}{5 \times 5} \). Avec les simplifications de fractions que vous connaissez, on n'a que des produits au numérateur et au dénominateur, on peut simplifier tranquillement. Il nous reste \(5^2\). Donc \(5^2\), c'est bien \(5^{4 - 2}\).

Que signifie un exposant négatif et pourquoi un nombre à la puissance zéro vaut un ?

Celle qui va un peu avec ça, forcément, c'est si vous avez une fraction avec une puissance au dénominateur :

Pourquoi \(a^{-n}\) ? Il faudrait peut-être parler du \(1\). Déjà, \(a^1\), ça fait tout simplement \(a\), parce qu'on a vu que c'était \(n\) facteurs, donc il n'y est qu'une fois. Ensuite, retenez que \(a^0 = 1\). Mon \(1\), je peux le transformer en \(a^0\). J'applique la règle précédente sur les quotients, je dis que c'est \(0 - n\), donc j'ai bien mon \(a^{-n}\).

Très rapidement, je vais essayer de vous montrer pourquoi \(a^0\) donne \(1\). On avait vu que si j'ai par exemple \(a^2\), ça fait \(a \times a\). \(a^3\), ça fait \(a \times a \times a\). Et cetera. Qu'est-ce qui se passe à chaque fois ? On ajoute un facteur \(a\) à chaque ligne en descendant. Ce qui veut dire que si je remonte, si je passe de \(a^3\) à \(a^2\), je divise par \(a\). Si je divise par \(a\) à chaque étape, je peux remonter comme ça. Ce qui nous amène à notre \(a^0\), ça nous fait un \( \frac{a}{a} \). Et \( \frac{a}{a} \) est égal à \(1\). C'est la démonstration de pourquoi on a \(1\) pour \(a^0\).

Quelles sont les formules pour calculer la puissance d'une puissance, d'un produit ou d'un quotient ?

Un autre cas assez important, c'est la puissance d'une puissance, notée entre parenthèses. Là pour le coup, c'est un produit des puissances :

Et enfin, je vous en donne deux autres pour être complet. Quand on a un produit, vous verrez dans le calcul littéral que quand on a des lettres collées, ça veut dire qu'elles sont multipliées. Quand j'ai une puissance \(n\) sur un produit, je peux distribuer la puissance sur les facteurs :

Pour le même cas avec la relation entre produit et quotient, là aussi on peut parler de la puissance d'un quotient. C'est pareil, je distribue la puissance sur le numérateur et le dénominateur :

Si vous avez toutes ces formules en tête, vous avez toutes les armes pour faire du calcul avec des puissances. Notez-vous bien toutes ces formules sur une fiche, comme ça quand vous faites vos calculs ou vos exercices, vous avez tout sous les yeux et ça fait gagner du temps.

Comment écrire une expression mathématique sous forme de puissance ?

Faisons une petite application directe du cours. On avait vu que quand j'ai \(a \times a \times a\) un nombre \(n\) de fois, je peux le mettre sous forme de puissance, qui est \(a^n\). Par exemple, \(7,1 \times 7,1 \times 7,1 \times 7,1\). Je l'ai quatre fois, donc c'est égal à \(7,1^4\). On peut mettre des parenthèses vu que c'est un décimal.

Ici, c'est avec des nombres négatifs. J'ai \(-3 \times -3 \times -3\). Il y en a \(3\), donc il faut bien garder le signe négatif entre parenthèses et je peux écrire que c'est \((-3)^3\).

Un cas intéressant : je peux mettre des puissances au dénominateur. J'ai \( \frac{1}{5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5} \). Le nombre \(5\) y est \(6\) fois si je compte bien, donc c'est égal à \( \frac{1}{5^6} \). Et si vous voulez même aller plus loin, vous pouvez tout mettre au numérateur parce qu'on avait vu que \( \frac{1}{a^n} \) ça fait \(a^{-n}\). Donc le résultat s'écrit \(5^{-6}\).

Comment calculer la valeur d'une puissance avec une base négative ou un exposant zéro ?

On va se faire des petits calculs de puissances. On vous a donné plein de puissances et là il faut vraiment les calculer. Vous allez voir, ce sont des calculs qu'on peut faire de tête, ce ne sont pas des \(2^{15}\). Le premier, \(3^2\), vous savez que c'est \(3 \times 3\), ce qui fait \(9\). Ensuite, \(17^0\). On a vu que n'importe quelle base à la puissance zéro donne \(1\). Sachez que tous les nombres, sauf zéro, à la puissance zéro, valent \(1\).

Qu'est-ce qui se passe quand j'ai \((-1)^2\) ? Vous savez que c'est \(-1 \times -1\), avec la règle des signes ça fait \(+1\). Par contre quand j'ai \((-1)^3\), ça me fait \(-1 \times -1 \times -1\). J'ai trois signes moins, donc ça fait un négatif. J'ai donc \(-1\). Qu'est-ce qui va se passer quand je vais mettre à la puissance \(4\) ? Je vais en avoir quatre, ça redevient positif. Quand je fais puissance \(5\), ça va être \(-1\). À chaque fois j'ai une alternance quand j'augmente la puissance.

Comment utiliser la parité de l'exposant ou un exposant négatif dans un calcul ?

Toutes les puissances paires donnent un résultat positif. Toutes les puissances impaires donnent un résultat négatif. C'est le rapprochement avec les règles des signes pour les nombres relatifs. Donc dans le cas de \((-1)^{15}\), l'exposant \(15\) est impair. Ça veut dire que je vais avoir le \(-1\) quinze fois, et forcément à la fin c'est un signe moins qui va l'emporter. Donc le résultat est tout simplement \(-1\). Ce qui veut dire que si j'avais \((-1)^{14}\), c'était \(1\), et \((-1)^{16}\), c'est \(1\) aussi.

Ici, j'ai \(2^{-1}\). Je vous rappelle la règle : \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \). Je peux donc le mettre sous forme de fraction : \( \frac{1}{2^1} \). Et qu'est-ce que c'est \(a^1\) ? C'était tout simplement \(a\). J'obtiens donc \( \frac{1}{2} \). Un demi, ça me va comme réponse. Vous pouvez aussi écrire \(0,5\), parce que c'est un nombre décimal qui s'arrête, c'est une valeur exacte. À chaque fois qu'on doit calculer quelque chose, il faut donner la valeur exacte.

Pour finir, appliquons la règle de la puissance d'un quotient sur \( \left(\frac{2}{3}\right)^2 \). Ça fait \( \frac{2^2}{3^2} \). Après on calcule, ça nous fait \( \frac{4}{9} \). Et là, je ne peux pas simplifier davantage. On ne le met surtout pas sous forme décimale parce que ce n'est pas un nombre décimal, c'est un rationnel dont les chiffres après la virgule ne s'arrêtent jamais.