1. Notions pré-requises

Quelles sont les bases du calcul numérique sur les nombres relatifs en 3ème ?

Bienvenue dans ce nouveau chapitre sur le calcul numérique. En troisième, on va aborder les cas des nombres relatifs, des puissances et des fractions. C'est comme ça que nous avons organisé ce chapitre. Les nombres relatifs, qu'est-ce que c'est ? C'est un bien gros mot, mais pour ne pas dire quelque chose de très difficile, ça veut dire que c'est à la fois les nombres positifs et négatifs.

Dans cela, on va juste s'intéresser aux entiers et aux décimaux, c'est-à-dire \( -7 \), \( 3 \), \( 4 \), etc. Les décimaux, ce sont des nombres à virgule, mais qui sont finis, par exemple \( -7,5 \), \( 1,25 \). Les puissances, c'est un produit avec le même facteur qui se répète plein de fois. Par exemple, \( 7^4 \), c'est \( 7 \times 7 \times 7 \times 7 \). Ici, on va s'attarder sur les notations scientifiques. Enfin, il y aura les calculs de fractions et les produits. Avec tous ces nombres relatifs et ces fractions, nous allons faire des additions, des soustractions, des multiplications et des divisions.

Quelle est la différence entre l'opposé et l'inverse d'un nombre ?

Tant que j'y suis, apportons quelques précisions sur du vocabulaire : l'opposé et l'inverse d'un nombre. Pour l'opposé, je vous fais une petite droite numérique avec le zéro au milieu. Tout ce qu'il y a après est positif, tout ce qu'il y a avant est négatif. Si je prends un nombre positif que je vais appeler \( a \) et que je cherche \( b \), l'opposé de \( a \), c'est l'opposé par rapport à zéro. Ce petit graphique permet de bien le comprendre, c'est \( -a \). Si \( b \) est l'opposé de \( a \), alors \( b = -a \).

À ne pas confondre avec l'inverse. Si j'ai \( b \) qui est l'inverse de \( a \), il faut raisonner avec les fractions. L'inverse de \( a \), c'est \( \frac{1}{a} \). C'est l'inverse par rapport à sa fraction. C'est une notion assez importante, par exemple pour les fractions ou plus tard pour le calcul littéral. C'est bien de se rappeler de ce qu'est l'opposé quand on va passer d'un membre de gauche à un membre de droite. Pareil quand on a quelque chose qui multiplie une lettre, pour passer de l'autre côté, on fait l'inverse. Nous sommes sur le calcul numérique, il faut donc bien faire attention à ces deux notions.

Comment transformer une soustraction en addition et une division en multiplication ?

Avant que je vous laisse avec les exercices, je vous rappelle les règles des signes. C'est super important pour ce chapitre de calcul numérique, ça va être déterminant pour le cas des additions, soustractions, multiplications et divisions. Je vais vous parler de cette histoire d'addition et de soustraction : on peut dire que toutes les soustractions sont comme des additions, mais avec un nombre négatif.

Moins quelque chose, c'est comme plus l'opposé du nombre. Si je fais \( 2 - 7 \), c'est comme \( 2 + \) l'opposé de \( 7 \), donc \( -7 \). Vous comprenez cette nuance d'opposé ? En fait, toutes les soustractions peuvent être vues comme des additions. Pour la division, il y a un peu ce principe-là avec l'inverse. Par exemple, quand je fais \( \frac{a}{b} \), c'est comme multiplier par l'inverse de \( b \), donc c'est \( a \times \frac{1}{b} \). Certains disent que les divisions n'existent pas, que ce ne sont que des multiplications avec l'inverse du nombre. C'est juste deux façons différentes de l'écrire.

Comment appliquer la règle des signes et l'ordre de priorité des opérations ?

Faisons ensemble ces histoires de signes avec les additions. Quand j'ai un signe plus devant un nombre positif, ça reste positif. Quand j'ai un plus devant un nombre négatif, c'est le négatif qui l'emporte. Quand j'ai un négatif devant un nombre positif, c'est le négatif qui l'emporte. Enfin, quand j'ai un négatif devant un négatif, c'est l'opposé de l'opposé, donc ça devient positif.

C'est la même chose avec les produits. Un nombre positif fois un nombre positif donne un nombre positif. Un nombre positif fois un nombre négatif donne un nombre négatif. Cela ne change rien d'avoir plus par moins ou moins par plus, dans les deux cas le résultat est négatif. Par contre, moins par moins, ça devient positif. La division suit exactement les mêmes règles, ce sont les mêmes cas de figure quand j'ai \( \frac{a}{b} \).

Je ne vous le note pas au tableau, mais rappelez-vous aussi de toutes les règles de priorité dans les opérations mathématiques. Il faut toujours s'occuper en premier de ce qu'il y a entre parenthèses. Après, on traite les multiplications et les divisions, et enfin on peut faire les additions et les soustractions avec les valeurs numériques. Gardez bien cela en tête pour résoudre les exercices, où il faudra déterminer si un produit, une somme ou une soustraction donne un résultat positif ou négatif.