9. Fraction : somme

Comment additionner deux fractions avec des dénominateurs différents en 3ème ?

Nous abordons maintenant la somme de fractions dans le calcul numérique. Il faut se rappeler la règle fondamentale : lorsque l'on a une somme de fractions de la forme \( \frac{a}{b} + \frac{c}{d} \), il faut absolument les mettre au même dénominateur. Ne faites surtout pas l'erreur classique d'additionner les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux en écrivant \( \frac{a+c}{b+d} \). Cette logique s'appliquera plus tard uniquement pour les produits de fractions, mais en aucun cas pour les additions. Pour pouvoir regrouper ces termes, il est impératif de trouver un dénominateur commun avant de procéder à la moindre addition.

Dans le cas général, la technique la plus simple consiste à multiplier chaque fraction par le dénominateur de l'autre fraction. Si l'on reprend notre formule générale, on va commencer par multiplier le dénominateur \( b \) par le dénominateur \( d \). Puisque nous manipulons une fraction mathématique, il faut absolument multiplier aussi le numérateur par ce même nombre pour que la valeur globale de la fraction ne change pas. Si l'on ne multiplie que le bas, on modifie la fraction d'origine, ce qui fausse totalement la suite de l'opération.

Quelle est la formule générale pour mettre deux fractions au même dénominateur ?

Une fois la première fraction adaptée, on applique ensuite exactement la même chose à l'autre fraction. On procède en multipliant son numérateur et son dénominateur par le premier dénominateur \( b \). En mathématiques, lorsque l'on a des produits avec des lettres, on n'est pas obligé de faire apparaître le signe de multiplication de manière explicite. Au final, après ces opérations croisées, on obtient l'expression \( \frac{ad}{bd} \) pour la première fraction et l'expression \( \frac{cb}{bd} \) pour la seconde fraction.

Puisque nous avons bien réussi à créer le même dénominateur \( bd \) des deux côtés, le calcul devient beaucoup plus simple à manipuler. On peut désormais tracer une seule grande barre de fraction pour l'ensemble du calcul. On met tout sur ce dénominateur commun et on peut enfin réaliser sereinement la somme au numérateur. Cela nous donne l'expression finale et générale de notre somme sous cette forme précise : \[ \frac{ad + cb}{bd} \]

Comment calculer une somme de fractions sans dénominateur commun évident ?

Mettons cette règle en application avec le calcul numérique \( \frac{1}{2} + \frac{5}{3} \). Les nombres \( 2 \) et \( 3 \) n'ont pas de multiples communs évidents, il faut donc les multiplier l'un par l'autre. Le dénominateur de la première fraction sera multiplié par \( 3 \), et celui de la seconde par \( 2 \), ce qui va nous donner un dénominateur commun de \( 6 \). Comme expliqué précédemment avec la formule générale, si je multiplie le bas par \( 3 \), il faut impérativement multiplier le haut par \( 3 \) également.

De même pour l'autre fraction, le numérateur \( 5 \) doit être multiplié par \( 2 \). Une fois ces multiplications posées, on se retrouve avec tout le calcul basé sur le dénominateur commun de \( 6 \). On effectue les produits aux numérateurs classiquement : \( 1 \times 3 \) donne \( 3 \), et \( 5 \times 2 \) donne \( 10 \). On regroupe ensuite l'ensemble sur une seule fraction, ce qui permet d'écrire l'opération sous la forme \( \frac{3 + 10}{6} \). L'addition finale au numérateur nous amène au résultat de \( \frac{13}{6} \).

À ce stade, le calcul principal est terminé, mais il reste toujours une dernière étape de vérification en fin d'exercice. Il faut toujours se demander si l'on peut simplifier le résultat obtenu. Dans notre cas, le nombre \( 13 \) est un nombre premier, ce qui signifie qu'il ne se décompose pas davantage. Comme \( 6 \) est plus petit que \( 13 \) et qu'il n'y a aucun diviseur commun, rien ne se simplifie et notre fraction est sous sa forme irréductible.

Comment soustraire une fraction d'un nombre entier naturel ?

Poursuivons les calculs avec un cas de figure très classique : la soustraction entre un nombre entier et une fraction. Prenons l'expression mathématique \( A = 2 - \frac{5}{7} \). Un nombre entier fonctionne exactement comme une fraction dont le dénominateur serait égal à \( 1 \). Ne prenez donc pas peur face à ce type de calcul, il suffit de réécrire le nombre entier initial sous la forme \( \frac{2}{1} \). La règle générale reste strictement la même : lorsqu'on n'a pas le même dénominateur, il faut trouver un dénominateur commun pour pouvoir sommer ou soustraire le haut.

Dans ce cas précis, nous n'avons pas besoin de multiplier les deux dénominateurs entre eux de manière croisée. Puisque nous avons un \( 1 \) et un \( 7 \), il suffit de multiplier la première fraction par \( 7 \) pour obtenir directement notre dénominateur commun. On multiplie donc \( 2 \times 7 \) en haut et \( 1 \times 7 \) en bas, ce qui nous permet de tout mettre sur \( 7 \) sans toucher à la seconde fraction. On obtient alors le calcul globalement regroupé sous la forme \( \frac{14 - 5}{7} \). En effectuant la soustraction au niveau du numérateur, on arrive directement au résultat final de \( \frac{9}{7} \).

Une fois encore, nous devons appliquer le réflexe de vérification pour déterminer si notre résultat final peut être réduit. Le dénominateur \( 7 \) est un nombre premier, il ne possède donc pas d'autres diviseurs que \( 1 \) et lui-même. Le numérateur \( 9 \) peut s'écrire sous la forme de la multiplication \( 3 \times 3 \), mais il ne partage aucun facteur commun avec \( 7 \). Je ne peux donc pas simplifier cette fraction davantage, ce qui prouve qu'elle est parfaitement irréductible pour clore ce calcul.