Calculs de Racines Carrées

Qu'est-ce que le carré d'un nombre en mathématiques ?

Avant de parler de racine carrée, très rapidement, on va juste rappeler ce que c'est qu'un nombre au carré. Et pour cela, on va utiliser un tableau. J'ai mis des nombres sur la première ligne, pas encore ici on va voir tout à l'heure. On passe de la première ligne à la deuxième ligne en prenant le carré du nombre de la première ligne, donc là j'ai mis \(x^2\).

Par exemple, pour calculer le nombre qui est ici, il va donc falloir faire \(3^2\). Or \(3^2\), on sait que c'est \(3 \times 3\). Attention, c'est le nombre par lui-même et non pas le nombre par 2. \(3 \times 3\), ça donne 9, donc ici, je peux mettre 9.

Pour 5, je fais de même. Je cherche donc le carré de 5, \(5^2\), qui est donc égal à \(5 \times 5\), qui me donne 25. Donc là, ici je peux écrire 25 en dessous de 5. Je pense que tu as compris le principe, tu t'en souviens, pour 7 eh bien je vais prendre le carré de 7, je ne détaille plus : \(7^2\), \(7 \times 7\) me donne 49.

Comment passer du carré d'un nombre à sa racine carrée ?

Ce qu'on va faire maintenant, c'est que je ne vais pas te donner la valeur de départ, le \(x\), mais je vais te donner la valeur d'arrivée, c'est-à-dire le \(x^2\). Et donc ici, je vais écrire 16. La question est donc : quel est le nombre, là-haut, qu'on peut mettre au carré, qui donne 16 ? C'est-à-dire un nombre fois lui-même qui donne 16.

Un nombre fois lui-même, donc là je dois avoir le même nombre, qui donne 16. Eh oui, c'est assez facile, eh bien il suffit ici de mettre 4. Puisque \(4 \times 4\), ça donne bien 16. On peut l'écrire devant, \(4^2\) est bien égal à 16.

Ce qui veut dire que pour passer ici de la première ligne à la deuxième ligne, je fais \(4^2\) qui me donne 16. Mais moi je l'ai trouvé dans l'autre sens. C'est-à-dire que j'ai d'abord donné 16, et j'ai retrouvé 4. Eh bien le chemin inverse s'appelle justement le passage à la racine carrée.

Comment calculer une racine carrée parfaite niveau 3ème ?

Si je demande quelle est la racine carrée de 16, je vais l'écrire de cette façon-là. Je vais chercher quel est le nombre que je peux élever au carré qui me donne 16. Combien fois combien me donne 16 ? La réponse, on l'a vue, elle est écrite juste au-dessus, c'est 4. Donc \(4^2\) donne 16, la racine carrée de 16 me donne 4.

On peut répondre maintenant à la première question, enfin, quelle est la racine carrée de 81 ? Ça revient à faire quoi ? Ça revient à mettre ici 81 dans mon tableau. Et à me poser la question : mais quel est le nombre ici que j'élève au carré qui me donne 81 ? Combien fois combien, sachant que j'ai le même nombre, est égal à 81 ?

Eh bien la réponse est assez simple, c'est 9. En effet, \(9^2\) fait 81. La racine carrée de 81 fait 9, on peut compléter derrière, c'est égal à 9. Même question maintenant avec la racine carrée de 121. C'est comme si j'avais ici une nouvelle colonne et que là en bas, j'écrivais 121.

Et je recherche le nombre qui est juste au-dessus. C'est-à-dire que je cherche le nombre que j'ai élevé au carré qui me donne 121. Eh bien ce nombre-là, c'est 11. En effet, \(11^2\), \(11 \times 11\) donne 121.

Comment calculer la racine carrée d'un nombre décimal avec une calculatrice ?

Alors plus compliqué maintenant, je voudrais la racine carrée de 5,5225. Évidemment, trouver un nombre qui élevé au carré me donne 5,5225, ce n'est pas facile. Alors dans ce cas-là, quand ce n'est pas des racines carrées évidentes comme les précédentes, eh bien on utilise tout simplement la calculatrice. Et la calculatrice va nous permettre de répondre à cette question.

Je vais tout simplement saisir sur ma calculatrice la racine carrée de 5,5225. Et qu'est-ce qu'elle me renvoie ? Elle me renvoie 2,35. On peut déjà noter la réponse : 2,35. Mais ça signifie quoi ça finalement, que je trouve 2,35 ?

Eh bien si je m'en réfère à ce que j'avais là-haut, ça voudrait dire que dans la ligne du bas j'aurais 5,5225 et juste au-dessus j'aurais 2,35. Donc ça signifierait en fait que \(2,35^2\) est en fait égal à 5,5225. Et on va s'en convaincre tout simplement en le vérifiant sur la calculatrice. On tape \(2,35^2\), et on trouve effectivement 5,5225. Ça veut donc bien dire que la racine carrée de 5,5225 est égale à 2,35.

Comment encadrer et évaluer une racine carrée qui ne tombe pas juste ?

On finit avec la racine carrée de 14. Alors 14 c'est un nombre entier, pas très grand, ça pourrait sembler facile. Je mets 14 ici, et juste au-dessus, je me pose la question : quel est le nombre au carré qui me donne 14 ? On avait vu tout à l'heure que \(4^2\) donnait 16, donc ce n'est pas 14. \(3^2\) donne 9, donc là on est en dessous.

Donc on a envie de dire que c'est entre 3 et 4, mais lequel ? Eh bien la question n'est pas simple en fait. Le nombre élevé au carré qui me donne 14, ce n'est déjà pas un nombre entier. Et on va voir que ce n'est pas un nombre décimal non plus. Tapons avec la calculatrice juste pour voir ce qu'elle en dit : racine carrée de 14.

Et qu'est-ce qu'elle nous affiche ? Elle affiche 3,741657, etc., et tout ça semble se suivre sans suite logique. Et oui, ce nombre-là, eh bien on ne peut pas l'écrire de façon décimale. Un peu comme le nombre pi, qui est une suite de décimales qui se suivent sans suite logique.

Comment donner la valeur approchée d'une racine carrée irrationnelle ?

Eh bien il en est pareil pour racine de 14, et d'ailleurs beaucoup d'autres racines carrées. La racine de 2, c'est la même chose, la racine de 3, la racine de 5... Finalement il y a énormément de racines carrées qu'on ne peut pas écrire de façon décimale. Alors qu'est-ce qu'on fait ? Quand on se retrouve avec tout plein de chiffres après la virgule, eh bien on donne une valeur approchée.

Alors je propose de donner une valeur approchée ici au centième. Donc ça nous fait 3,74. Derrière le 4 j'ai un 1, donc on peut s'arrêter à 3,74. Ce qui fait que je vais modifier ici mon symbole d'égalité et je vais mettre environ égal. On obtient ainsi \[ \sqrt{14} \approx 3,74 \]

Ça veut dire que si je fais le calcul dans l'autre sens, et que je fais \(3,74^2\), eh bien je ne vais pas trouver exactement 14. Et oui, forcément puisque là j'ai pris une valeur approchée. On va quand même essayer avec la calculatrice. Si on tape \(3,74^2\), on trouve 13,9876. On est très très près de 14, mais on n'est pas exactement égal à 14.