Ce que demande cet exercice

Cet exercice, extrait du concours de recrutement de professeurs des écoles, vous confronte à une situation classique d'évaluation des grandeurs géométriques et de leurs variations. Il vous est présenté sous la forme très concrète d'un débat entre trois personnes imaginaires, nommées Louise, Tessa et Eva, autour de l'évolution de l'aire d'un carré lorsque la longueur de son côté subit une forte augmentation. Votre objectif mathématique est de départager ces trois affirmations contradictoires en justifiant rigoureusement votre raisonnement, étape par étape.

La difficulté de cette épreuve réside dans la nécessaire modélisation de cette situation à l'aide de l'outil algébrique. Vous devez traduire mathématiquement l'augmentation initiale du côté, puis développer le raisonnement pour exprimer la nouvelle aire obtenue en fonction de la longueur initiale. L'enjeu majeur est de ne pas se fier à son intuition, qui est bien souvent trompeuse lorsqu'il s'agit d'appliquer des variations formulées en pourcentage sur des figures géométriques bidimensionnelles.

Les notions a maitriser

• L'aire du carré : vous devez connaître parfaitement la formule fondamentale permettant de calculer la surface de cette figure de base en fonction de la longueur de son côté.
• Les pourcentages d'évolution : il est indispensable de savoir traduire une augmentation formulée en pourcentage par l'application d'un coefficient multiplicateur approprié.
• Les grandeurs unidimensionnelles et bidimensionnelles : vous devez comprendre comment une variation sur une longueur se répercute sur une surface, ce qui implique la maîtrise du calcul littéral.
• La démonstration mathématique : le jury attend que vous sachiez formuler une preuve générale, en posant une variable inconnue, afin de prouver qu'une affirmation est vraie dans tous les cas de figure.

Methode et pieges

Pour résoudre efficacement ce problème d'apparence anodine, la méthode la plus sûre consiste à recourir au calcul littéral. Nous vous conseillons de désigner la longueur initiale du côté du carré par une lettre. Appliquez ensuite le taux d'augmentation indiqué dans la description de l'énoncé pour exprimer la nouvelle longueur du côté agrandi. À partir de cette nouvelle expression algébrique, calculez consciencieusement la nouvelle aire globale de la figure. Il vous restera ensuite l'étape cruciale consistant à comparer cette aire finale à l'aire initiale pour déterminer avec certitude le pourcentage réel d'augmentation de la surface. Vous pourrez ainsi confronter sereinement votre résultat final aux propositions formulées par Louise, Tessa et Eva.

Le piège redoutable de ce type d'énoncé, fréquemment glissé dans les sujets, est de penser naïvement que les pourcentages s'additionnent linéairement ou se transmettent de manière purement proportionnelle d'une dimension à l'autre. Une erreur trop fréquente des candidats non avertis est de supposer qu'une variation donnée sur la longueur entraîne la même variation sur l'aire, ou qu'il suffit de multiplier le pourcentage initial par deux sous prétexte que l'on passe à l'étude de deux dimensions. Prenez également garde au vocabulaire usuel employé par les protagonistes : doubler une quantité ne correspond pas toujours au pourcentage d'augmentation que l'on imagine. Rédigez donc votre justification avec soin, car au concours, la clarté pédagogique de votre démarche compte véritablement autant que l'exactitude de votre conclusion.