Ce que demande cet exercice

Cet exercice, issu des sujets du concours de recrutement de professeurs des écoles, vous confronte à une situation incontournable du programme : le calcul de probabilités à partir d'une expérience aléatoire à deux épreuves. L'énoncé présente un jeu reposant sur l'utilisation de deux dés différents. Le premier est un dé tétraédrique possédant quatre faces. Ses faces ne sont pas numérotées mais colorées : une rouge, une bleue et deux jaunes. Le second est un dé cubique traditionnel à six faces, numérotées de un à six. Les deux dés sont considérés comme parfaitement équilibrés.

Il vous est demandé d'étudier l'issue de deux lancers consécutifs. D'abord, vous devez calculer la probabilité de l'intersection de deux événements précis, à savoir l'obtention de la couleur rouge sur le premier dé suivie de l'obtention du chiffre quatre sur le second. Ensuite, l'exercice requiert de déterminer la probabilité d'une autre combinaison, impliquant cette fois-ci l'apparition de la couleur jaune lors du premier lancer, associée à l'obtention d'un nombre impair lors du second. Il faut bien comprendre la nature séquentielle de ces deux actions.

Les notions a maitriser

• L'équiprobabilité : savoir utiliser la loi de Laplace pour calculer la probabilité d'un événement simple en divisant le nombre de cas favorables par le nombre de cas possibles.
• L'indépendance de deux événements : comprendre que le résultat obtenu sur le premier dé n'influence absolument pas le résultat du dé cubique lors du second lancer.
• La probabilité de l'intersection : maîtriser la règle multiplicative permettant d'obtenir la probabilité que deux événements indépendants se réalisent conjointement, en multipliant leurs probabilités respectives.
• La modélisation : être capable de schématiser la situation à l'aide d'un arbre de probabilités pondéré pour structurer correctement votre réflexion.

Methode et pieges

Pour résoudre cet exercice efficacement, il est conseillé de traiter chaque dé de manière isolée. Commencez par définir l'univers des possibles pour le dé à quatre faces. Observez attentivement la répartition des couleurs. Notez bien que la couleur jaune figure sur deux des quatre faces, ce qui double son poids probabiliste par rapport aux autres teintes. Procédez de la même manière pour le dé à six faces en identifiant clairement les nombres impairs parmi les issues possibles. Calculez la probabilité de chaque événement indépendamment.

Le piège majeur dans ce genre d'énoncé réside dans le choix de l'opération mathématique finale. Puisque l'exercice demande la probabilité que deux conditions soient réunies simultanément, il s'agit d'une intersection. Vous devez impérativement multiplier les probabilités trouvées, et non les additionner. L'addition est réservée à l'union d'événements incompatibles. Par ailleurs, une lecture trop rapide pourrait vous faire confondre le tétraèdre avec un dé classique à six faces. Prenez toujours le temps de bien analyser les objets décrits. Enfin, n'oubliez pas de simplifier vos fractions à la fin de vos calculs, car un résultat sous forme irréductible est systématiquement attendu de la part d'un futur enseignant.