Ce que demande cette question

La question 13 de l'épreuve de mathématiques du concours ACCÈS 2019 s'inscrit dans la continuité d'un problème global de modélisation économique. Dans cette partie spécifique, vous devez analyser le projet d'implantation d'une laverie par un entrepreneur nommé François. L'énoncé vous fournit un ensemble de données chiffrées qu'il va falloir structurer avec la plus grande rigueur. Vous savez que François achète deux machines à laver pour un montant unitaire précis et qu'il supporte des charges fixes annuelles incluant l'amortissement et l'entretien.

Du côté des recettes et des coûts variables, la situation est paramétrée par une inconnue, notée x, qui représente le prix de vente de base d'un lavage. À cela s'ajoute un coût de fournitures modélisé par une fonction du second degré dépendant de ce même x. Vous devez également prendre en compte la fréquence d'utilisation, estimée à deux lavages par semaine et par résident, sur une année comptable simplifiée à cinquante semaines. Il est impératif de vous appuyer sur le nombre total de résidents, une donnée indispensable qui a été introduite dans le préambule de ce problème à tiroirs.

Les quatre affirmations à évaluer vous demandent de vérifier des formules algébriques modélisant le coût annuel total, d'analyser l'impact d'une variation du volume d'activité sur le bénéfice, et de calculer des valeurs numériques exactes pour le bénéfice et le coût unitaire lorsque le prix de base x est fixé à trois euros. Il s'agit donc d'un exercice complet de traduction d'un énoncé textuel en équations mathématiques.

Les notions à maîtriser

• La modélisation de fonctions économiques : Vous devez être capable de construire les expressions algébriques du chiffre d'affaires, du coût total et du bénéfice en fonction des quantités et des prix unitaires.
• La distinction des types de coûts : Il est essentiel de ne pas confondre les charges fixes, qui restent invariables quel que soit le volume d'activité, et les charges variables, qui dépendent directement du nombre de lavages effectués.
• Le calcul littéral et numérique : Vous devez savoir manipuler des expressions contenant des termes en x et en x au carré, puis remplacer cette variable par une valeur numérique précise pour vérifier une hypothèse.
• L'analyse de la proportionnalité : Comprendre pourquoi un bénéfice n'est généralement pas proportionnel au chiffre d'affaires ou au volume de ventes en présence de coûts fixes.

Méthode et pièges au concours ACCÈS

Le concours ACCÈS est réputé pour ses problèmes mathématiques longs et denses, où la gestion du temps et de l'information est primordiale. Le premier piège de cette question réside dans la lecture de l'énoncé. Les candidats oublient souvent de multiplier les valeurs unitaires par l'ensemble des facteurs : le nombre de semaines qui est ici de cinquante et non de cinquante-deux, le nombre de lavages par résident, et le nombre total de résidents issu du contexte général du problème. Une seule omission fausse l'intégralité de vos fonctions de coût et de recette.

Un autre piège classique concerne l'affirmation liée à la proportionnalité. En économie, la présence de charges fixes annuelles implique que le bénéfice ne varie pas de manière linéaire avec le volume d'activité. Si le nombre de lavages est divisé par deux, la part des coûts fixes pèse proportionnellement plus lourd, ce qui invalide souvent les raisonnements simplistes de proportionnalité directe.

Enfin, gardez toujours à l'esprit les spécificités du barème de l'épreuve de raisonnement logique et mathématiques du concours ACCÈS. Chaque question comporte quatre affirmations indépendantes. Une réponse correcte vous rapporte des points, mais une réponse incorrecte entraîne une pénalité. Une absence de réponse ne vous pénalise pas. Par conséquent, si vous n'êtes pas absolument certain de votre équation de bénéfice ou de votre calcul pour une affirmation donnée, il est stratégiquement préférable de vous abstenir plutôt que de risquer de perdre les points accumulés sur les autres items de la question.