Ce que demande cette question

Dans cette neuvième question de l'épreuve de raisonnement logique et mathématique du concours ACCÈS 2021, vous êtes confronté à l'étude complète d'une fonction composée. L'énoncé vous présente une fonction qui associe le logarithme népérien à une somme d'exponentielles. Votre objectif est d'analyser quatre affirmations distinctes portant sur les caractéristiques fondamentales de cette fonction. Tout d'abord, vous devez déterminer son ensemble de définition, ce qui implique de comprendre les conditions d'existence du logarithme. Ensuite, le sujet vous invite à calculer la dérivée de la fonction pour vérifier une expression donnée. La troisième affirmation vous demande de faire le lien entre la fonction dérivée et le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative en un point d'abscisse quelconque. Enfin, la dernière proposition porte sur la géométrie de la courbe, en vous demandant de vérifier si elle admet l'axe des ordonnées comme axe de symétrie, ce qui revient à étudier la parité de la fonction. Il s'agit donc d'un exercice d'analyse classique mais très complet, balayant les propriétés essentielles des fonctions transcendantes.

Les notions à maîtriser

Pour aborder cette question sereinement, vous devez être parfaitement à l'aise avec plusieurs concepts du programme d'analyse.

• Le domaine de définition du logarithme népérien : savoir que la fonction ln n'est définie que pour des arguments strictement positifs et savoir résoudre les inéquations associées.
• Les règles de dérivation des fonctions composées : maîtriser la formule de la dérivée de ln(u), qui est u'/u, et savoir l'appliquer sans erreur de calcul.
• L'équation de la tangente : se rappeler que le coefficient directeur de la tangente à une courbe en un point correspond à la valeur de la dérivée en ce point.
• La parité d'une fonction : connaître la définition mathématique d'une fonction paire et comprendre son interprétation graphique, notamment la symétrie par rapport à l'axe des ordonnées.
• Les propriétés algébriques de l'exponentielle : savoir manipuler les puissances, factoriser et simplifier des quotients contenant des termes en exponentielle.

Méthode et pièges au concours ACCÈS

L'épreuve du concours ACCÈS exige une grande rigueur et une gestion du temps optimale. Face à une question d'analyse comme celle-ci, la méthode la plus efficace consiste à traiter les affirmations dans un ordre stratégique. Commencez par les propositions qui demandent le moins de calculs, comme l'ensemble de définition ou la parité, avant de vous lancer dans la dérivation. Un piège fréquent ici réside dans la simplification hâtive de la dérivée. Prenez le temps de bien écrire l'expression de la dérivée, puis de factoriser ou de multiplier le numérateur et le dénominateur par une même quantité pour retrouver la forme proposée par l'énoncé. Soyez particulièrement vigilant sur les signes lors de la dérivation de l'exponentielle d'exposant négatif. Gardez toujours à l'esprit le système de notation spécifique du concours ACCÈS. Une mauvaise réponse est lourdement pénalisée, car une erreur vous fait perdre plus de points qu'une absence de réponse. Si vous bloquez sur le calcul du coefficient directeur ou si vous n'êtes pas certain de votre simplification, il est préférable de laisser la case vide plutôt que de cocher au hasard. Assurez vos points sur les affirmations dont vous êtes sûr à cent pour cent.