Analyse de l'énoncé

Cet exercice du Brevet 2024 évalue la capacité de l'élève à transposer des instructions (textuelles ou algorithmiques) en expressions mathématiques, illustrant ainsi la connexion entre Algorithmique-programmation et Calcul littéral. Les Programmes de calculs A et B doivent être testés numériquement puis analysés algébriquement pour établir une relation générale.

Question 1 : Vérifications Numériques

Cette étape est cruciale pour s'assurer de la bonne compréhension des programmes avant de généraliser avec la variable $x$.

• Programme A (avec $x=5$) :
  1. Carré de 5 : $5^2 = 25$
  2. Multiplier par 2 : $25 imes 2 = 50$
  3. Ajouter le double de 5 : $50 + (2 imes 5) = 60$
  4. Soustraire 4 : $60 - 4 = 56$. (Vérifié)
• Programme B (avec $x=-9$) : L'algorithme calcule le produit des variables « Résultat 1 » et « Résultat 2 ».
  1. Résultat 1 ($-9 + 2$) = $-7$
  2. Résultat 2 ($-9 - 1$) = $-10$
  3. Produit : $(-7) imes (-10) = 70$.

Question 2 : Généralisation et Calcul Littéral

Traduire un programme de calcul en fonction de $x$ est la base du calcul littéral.

• Programme B : L'expression est le produit des deux variables intermédiaires $(x+2)$ et $(x-1)$. L'expression correcte est donc $E_2 = (x + 2) imes (x - 1)$.
• Programme A : En suivant les instructions littéralement, on obtient l'expression : $2 imes (x^2) + (2 imes x) - 4$. Soit $A(x) = 2x^2 + 2x - 4$.

Question 3 : Démonstration Algébrique

Pour prouver la relation $A(x) = 2 imes B(x)$, il faut développer l'expression du programme B et la comparer au programme A.

Nous avons $B(x) = (x + 2)(x - 1)$. En développant (double distributivité) :

$$B(x) = x^2 - x + 2x - 2$$

$$B(x) = x^2 + x - 2$$

Calculons le double de $B(x)$ :

$$2 imes B(x) = 2(x^2 + x - 2)$$

$$2 imes B(x) = 2x^2 + 2x - 4$$

Puisque $A(x) = 2x^2 + 2x - 4$, nous avons démontré que le résultat du programme A est toujours le double de celui du programme B. Cette démonstration valide la maîtrise du développement algébrique nécessaire pour la réussite du Brevet.