Analyse de l'énoncé : Application Concrète des Mathématiques

Cet exercice, issu de l'examen du Brevet 2014 (Métropole), est un classique de l'épreuve de mathématiques, car il combine de manière astucieuse plusieurs notions fondamentales du programme de 3ème : le calcul de volumes, la proportionnalité (conversion d'unités et application de tarifs) et la géométrie dans l'espace nécessitant l'utilisation du théorème de Pythagore.

Le défi principal est de gérer les changements d'unités (cm, m, kg, tonne) et de déterminer la bonne dimension géométrique pour le toit.

Points clés de la résolution

• Question 1 : Calcul du prix unitaire. Il est essentiel de convertir les dimensions de la botte de paille en mètres (90 cm = 0,9 m, etc.) pour obtenir un volume $V$ en m³. Ensuite, on utilise la proportionnalité pour trouver la masse (Masse = $V imes 90$ kg/m³). Enfin, on convertit la masse en tonnes avant d'appliquer le tarif de 40 €/tonne. Le résultat doit être arrondi au centime.
• Question 2.a : Détermination de la surface du toit. La zone à isoler (KGFJ) est un rectangle dans l'espace. Sa longueur est donnée (15,3 m). Sa largeur est la longueur de la pente (JK). Pour trouver cette longueur JK, il faut appliquer le Théorème de Pythagore sur le triangle rectangle formé par la coupe du toit. L'énoncé nous donne la hauteur totale (7,7 m) et la hauteur latérale (5 m), soit une différence verticale de $7,7 - 5 = 2,7$ m. La projection horizontale est donnée par la largeur du bâtiment (3,6 m). Ainsi, $\text{JK}^2 = 2,7^2 + 3,6^2$. Une fois la largeur JK trouvée, on peut calculer la surface $S$.
• Calcul du nombre de bottes. L'isolation requise a une épaisseur de 35 cm (0,35 m), ce qui est une dimension de la botte. Le volume total d'isolation est $V_{isolation} = S_{toit} imes 0,35$. Le nombre de bottes est ensuite obtenu par $N = V_{isolation} / V_{botte}$.
• Question 2.b : Coût total. Le coût est simplement le produit du nombre de bottes commandées par le prix unitaire calculé en question 1.

Les erreurs à éviter

Ne pas oublier de convertir les cm en m pour le calcul du volume initial, et de bien convertir les kg en tonnes lors du calcul du prix. L'identification correcte des côtés du triangle rectangle est cruciale pour l'application du théorème de Pythagore.