Analyse de l'énoncé : Les Fonctions au service de la Biologie

Cet exercice du Brevet 2014 (Amérique du sud) est un excellent exemple d'application concrète des fonctions dans la vie courante, notamment dans le domaine médical. Il s'agit de lire et d'interpréter un graphique représentant l'évolution du taux d'anticorps (variable dépendante, ordonnée) en fonction du temps écoulé en jours (variable indépendante, abscisse). Ce type d'exercice permet d'évaluer votre capacité à utiliser les outils mathématiques (le repère orthonormé) pour répondre à des questions factuelles.

Méthodologie pour la Lecture Graphique

La clé de la réussite dans cet exercice est d'identifier clairement ce que représentent les axes : l'axe des abscisses ($x$) est le temps en jours (échelle 1 carreau = 1 jour, graduations tous les 5 jours) et l'axe des ordonnées ($y$) est le taux d'anticorps (graduations tous les 100). L'injection initiale se fait au jour J0.

Question 1 : Début de la réaction

Pour constater une présence d'anticorps, il faut que le taux soit strictement supérieur à zéro ($y>0$). On cherche la première abscisse ($x$) pour laquelle la courbe s'élève au-dessus de l'axe horizontal. En observant le graphique, la courbe quitte l'axe des abscisses approximativement au jour $x=3$.

Question 2 : Le pic de la première injection

La valeur maximale du taux d'anticorps après la première injection correspond au sommet de la première « vague » de la courbe. En lisant l'ordonnée de ce point, on trouve une valeur maximale d'environ 90 unités arbitraires. Cette valeur est atteinte au jour $x=5$. Pour déterminer le jour de la semaine, sachant que le jour J0 est le jeudi 16 octobre, J5 correspond au mardi 21 octobre (Jeudi + 5 jours = Mardi).

Question 3 : Disparition des anticorps

Pablo n'a plus d'anticorps lorsque le taux retombe à zéro ($y=0$). On cherche l'abscisse où la courbe touche à nouveau l'axe des temps après la première vague. Cette valeur est atteinte approximativement au jour $x=13$.

Question 4 : Analyse d'intervalle

Il faut déterminer la durée pendant laquelle le taux d'anticorps est supérieur à 800. On trace mentalement ou sur papier la droite horizontale $y=800$. On constate que ce taux n'est atteint que suite à la deuxième injection (le rappel). La courbe coupe la droite $y=800$ deux fois : une première fois vers $x \approx 33,7$ jours (montée) et une seconde fois vers $x \approx 35,7$ jours (descente). La durée pendant laquelle le taux est supérieur à 800 est donc la différence entre ces deux valeurs : $35,7 - 33,7 = 2$ jours. La précision de la lecture graphique étant requise au Brevet, une réponse dans l'intervalle [1,5 ; 2,5] jours est généralement acceptée.

Points clés

• L'axe $x$ représente la variable indépendante (le temps).
• L'axe $y$ représente la variable dépendante (le taux d'anticorps).
• Trouver un maximum ou un minimum nécessite la lecture du sommet (ordonnée) et de sa position (abscisse).
• Déterminer une durée ou un intervalle implique de lire deux abscisses et d'en faire la différence.