Introduction aux Fonctions et à la Modélisation au Brevet

Cet exercice du Brevet des collèges 2022 (Série Générale, Métropole) est une étude de cas classique sur la gestion de tarifs de location de véhicules. Il mobilise trois piliers majeurs du programme de mathématiques de 3ème : les fonctions linéaires, les fonctions affines et les fonctions constantes. L'objectif est de transformer une situation concrète (le voyage de Yanis en Guadeloupe) en un modèle mathématique rigoureux pour prendre une décision économique optimale.

Analyse Méthodique de l'Énoncé : Comprendre les tarifs

L'énoncé présente trois structures de prix différentes que l'élève doit d'abord savoir calculer manuellement avant de les modéliser. Le tarif « Affaire » est une situation de proportionnalité pure ($0,50$ € par km). Le tarif « Voyage court » introduit un coût fixe (forfait) de $120$ €, auquel s'ajoute une part variable ($20$ centimes par km). Attention ici à l'unité : les $20$ centimes doivent être convertis en euros ($0,20$ €) pour rester cohérent avec le forfait. Enfin, le tarif « Voyage long » est un tarif forfaitaire fixe de $230$ €, indépendant du kilométrage.

Analyse de la Question 1 : Calcul d'image

Pour $280$ km avec le tarif « Affaire », l'élève doit effectuer un produit simple : $280 \times 0,5 = 140$. Yanis paiera donc $140$ €. Cette étape permet de vérifier la compréhension immédiate du multiplicateur. En termes de rédaction, il est conseillé de bien préciser l'opération et l'unité finale.

Analyse de la Question 2 : Comparaison de valeurs

Pour $450$ km, on compare les trois offres :
1. Affaire : $450 \times 0,5 = 225$ €.
2. Voyage court : $120 + 450 \times 0,2 = 120 + 90 = 210$ €.
3. Voyage long : $230$ € (fixe).
L'offre la plus avantageuse est donc le tarif « Voyage court » à $210$ €. Cet exercice apprend à l'élève qu'une offre avec un forfait initial peut devenir plus rentable qu'une offre sans forfait dès que la distance augmente.

Analyse de la Question 3 : Modélisation et Résolution d'Équation

3.a. Association des fonctions :
- $m(x) = 0,5x$ correspond au tarif « Affaire » (Fonction linéaire, coefficient $0,5$).
- $n(x) = 0,2x + 120$ correspond au tarif « Voyage court » (Fonction affine, ordonnée à l'origine $120$).
- $l(x) = 230$ correspond au tarif « Voyage long » (Fonction constante).

3.b. Résolution de l'équation :
On cherche $x$ tel que $n(x) = m(x)$, soit $0,2x + 120 = 0,5x$.
En isolant les termes en $x$ : $120 = 0,5x - 0,2x \Rightarrow 120 = 0,3x$.
En divisant par $0,3$ : $x = 120 / 0,3 = 400$.
Pour $400$ km, les deux tarifs sont strictement identiques.

Analyse de la Question 4 : Interprétation Graphique

Le tracé des courbes est crucial. La fonction $l(x)$ est une droite horizontale à $y=230$. La fonction $m(x)$ passe par l'origine $(0,0)$. La fonction $n(x)$ commence à $(0, 120)$. Graphiquement, pour savoir quand le tarif « Voyage long » est le plus avantageux, il faut repérer la zone où la droite représentant $l(x)$ est située en dessous des deux autres droites. On observe que l'intersection entre $n(x)$ et $l(x)$ se produit lorsque $0,2x + 120 = 230$, soit $0,2x = 110$, donc $x = 550$. Au-delà de $550$ km, le forfait fixe de $230$ € devient le moins cher.

Les Pièges à Éviter

Le piège principal réside dans la conversion des centimes en euros pour la fonction $n(x)$. Un élève qui écrit $0,20$ comme $20$ obtiendrait une pente erronée. Un autre piège est l'imprécision sur le graphique : l'utilisation d'une règle et la vérification des points calculés (par exemple pour $x=600$) sont indispensables pour garantir la précision du tracé.

Conseils de Rédaction pour l'Examen

Pour obtenir tous les points, ne vous contentez pas de donner le résultat. Phrase d'introduction, pose de l'opération, calcul, et phrase de conclusion sont le quatuor gagnant. Pour les questions graphiques, laissez toujours les pointillés de lecture apparents (traits de construction), car ils prouvent au correcteur que vous avez compris la méthode de lecture de l'information sur l'axe des abscisses et des ordonnées.