Introduction à la Géométrie du Pentagramme

L'exercice 5 du Brevet de Mathématiques 2016 (Métropole) est un sujet atypique classé en Hors programme partiel, demandant une forte prise d'initiative. Il invite l'élève à sortir du cadre classique des théorèmes de Thalès ou Pythagore pour s'aventurer dans la géométrie plane pure : la construction d'un pentagramme, ou étoile à cinq branches. Ce type d'exercice teste la capacité de lecture, de compréhension d'un protocole technique et de réutilisation des propriétés fondamentales du cercle et des angles.

Analyse Méthodique de la Construction

La première partie de l'exercice est une épreuve de précision. Archibald suit une fiche technique inspirée de la construction d'Euclide ou de Ptolémée. L'élève doit ici compléter une figure complexe. Le point clé réside dans l'interprétation des instructions : placer le milieu J du segment $[OC]$ (le rayon horizontal) puis utiliser le compas pour définir des points d'intersection précis sur un cercle de centre $O$.

Dans la construction proposée, l'étape 4 indique de tracer la demi-droite $[JA]$. Cette étape permet de définir le point $M$. La longueur $AM$ devient alors la corde fondamentale de l'étoile. En reportant cette longueur sur le cercle d'origine (de rayon $[OC]$), on obtient les cinq sommets de l'étoile : $E$, $F$, $G$, $H$ et $I$. C'est une application concrète du report de longueurs au compas, notion fondamentale du collège.

Utilisation du Vocabulaire Mathématique (Question 2)

La question 2 demande de traduire une consigne "couture" en langage mathématique rigoureux. La consigne initiale est : "Placer la pointe du compas sur J, placer le crayon sur C et tourner".

Pour un mathématicien, cette action se décrit ainsi : "Tracer le cercle (ou l'arc de cercle) de centre $J$ et de rayon $JC$". L'enjeu ici est de montrer que l'élève maîtrise les définitions de base : un cercle est l'ensemble des points situés à une distance donnée (le rayon) d'un point fixe (le centre). La précision du vocabulaire est essentielle pour valider les points lors de l'examen du Brevet.

Analyse des Angles et Propriétés du Cercle (Question 3)

La troisième question aborde les propriétés des angles. Anaïs remarque que les angles $\widehat{EGI}$ et $\widehat{EHI}$ sont égaux. La question est : est-ce toujours vrai ?

La réponse repose sur le théorème des angles inscrits (souvent abordé en fin de cycle 4 ou en option). Les points $E, G, I, H, F$ sont tous situés sur le même cercle de centre $O$. Les angles $\widehat{EGI}$ et $\widehat{EHI}$ interceptent le même arc de cercle $\text{EI}$. Selon la propriété des angles inscrits, deux angles qui interceptent le même arc sont égaux. Par conséquent, peu importe la taille du cercle de départ ou la précision du tracé, dès lors que les points sont sur le cercle, l'égalité est vérifiée. C'est ici que la prise d'initiative intervient : il faut mobiliser une propriété qui n'est pas explicitement citée dans l'énoncé mais qui découle de la nature cyclique de la figure.

Les Pièges à Éviter

Le principal piège est le manque de soin dans la construction géométrique. Une erreur d'un millimètre au début (milieu de $[OC]$ mal placé) se propage et empêche l'étoile de se "fermer" correctement à la fin (le point $I$ ne rejoindra pas le point de départ). Un autre piège est de vouloir utiliser de la trigonométrie complexe. L'exercice est avant tout visuel et logique. Enfin, ne confondez pas le rayon du cercle de construction (le petit cercle de centre $J$) avec le rayon du cercle principal de centre $O$.

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Pour réussir cet exercice, soignez vos tracés : laissez les traits de construction au crayon à papier (ils prouvent votre méthode au correcteur). Pour les questions de texte, utilisez des phrases courtes et les connecteurs logiques usuels : "Or, je sais que...", "Donc...". Pour la question sur les angles, citer que les points sont "cocycliques" (sur un même cercle) est un excellent moyen de montrer votre niveau de maîtrise au jury.