Analyse de l'énoncé : Probabilités et Statistiques au Brevet

Cet exercice, extrait du Brevet des Collèges 2022 (Polynésie), est un excellent exemple de l'articulation entre les deux grands thèmes de la fin du cycle 4 : les Probabilités et les Statistiques. Il demande une maîtrise des définitions de base (univers, événements, issues favorables) ainsi que des indicateurs statistiques (moyenne, médiane, fréquence).

Points clés de la Partie 1 : Calcul des Probabilités

La première étape cruciale consiste à déterminer l'univers des possibles, c'est-à-dire le nombre total de boules dans l'urne. Avec 20 rouges, 10 vertes, 5 bleues et 1 noire, le total est de 36 boules. Puisque les tirages sont effectués "au hasard" et que les boules sont implicitement indiscernables au toucher, nous sommes dans une situation d'équiprobabilité.

• Probabilité d'un événement simple : La probabilité de gagner 10 points (boule noire) est $1/36$.
• Probabilité d'un événement composé : Gagner plus de 3 points signifie tirer une bleue (5 pts) ou une noire (10 pts). Ces événements sont incompatibles. Il faut additionner les issues favorables (5 + 1 = 6 issues) et diviser par le total : $6/36 = 1/6$.
• Comparaison de chances : Pour comparer deux événements, il suffit de comparer leurs probabilités respectives. Le joueur a plus de chances de gagner 2 points (10/36) que 5 points (5/36).

Maîtriser la Statistique Descriptive (Partie 2)

La seconde partie bascule vers l'analyse d'une série statistique réelle (les scores des 15 joueurs). Il est souvent utile de répertorier les données par effectifs (5 scores à 1 pt, 5 à 2 pts, 3 à 5 pts, 2 à 10 pts) avant de commencer les calculs.

• Calcul de la Moyenne : La moyenne est pondérée. On multiplie chaque score par son effectif et on divise par l'effectif total (15). La moyenne est $(5 imes 1 + 5 imes 2 + 3 imes 5 + 2 imes 10) / 15 = 50/15 \approx 3,33$ points.
• Détermination de la Médiane : Pour 15 valeurs, la médiane est la $8^{e}$ valeur de la série ordonnée. En listant les scores, on trouve que la médiane est $2$ points. Cela signifie qu'au moins la moitié des joueurs a obtenu un score inférieur ou égal à 2 points, et au moins la moitié un score supérieur ou égal à 2 points.
• Fréquence : La fréquence s'exprime comme le rapport entre l'effectif de la modalité et l'effectif total. La fréquence du score de 10 points est $2/15$.

Le Lien entre Probabilités et Statistiques (Partie 3)

La dernière question est fondamentale car elle interroge sur la Loi des Grands Nombres. Cette loi stipule que lorsque l'on répète une expérience aléatoire un très grand nombre de fois (ici, 1000 joueurs), la fréquence observée d'un événement tend à se rapprocher de sa probabilité théorique.

Oui, on peut estimer le nombre de joueurs ayant obtenu 10 points en multipliant le nombre total de joueurs (1000) par la probabilité théorique de cet événement (1/36). L'estimation serait $1000 imes 1/36 \approx 28$ joueurs.