Introduction aux notions clés du Brevet 2025

L'exercice 5 du sujet de mathématiques du Brevet 2025 (Zone Asie) est un modèle de polyvalence. Il balaye trois domaines fondamentaux du programme de troisième : l'arithmétique, la géométrie dans l'espace (volumes) et les calculs commerciaux (pourcentages). Cet exercice est conçu pour évaluer la capacité de l'élève à extraire des informations d'un énoncé complexe et à appliquer des formules standard dans des contextes concrets. Nous allons décomposer chaque partie pour vous offrir une méthodologie de réussite infaillible.

Analyse de la Partie A : Arithmétique et Répartition

La première partie repose sur la décomposition en produits de facteurs premiers, une compétence pilier du Brevet. La question 1 demande d'identifier la décomposition de 300. Pour rappel, un nombre premier n'est divisible que par 1 et lui-même (2, 3, 5, 7, 11...). La proposition 2 ($2 \times 2 \times 3 \times 5 \times 5$) est la seule correcte car elle n'utilise que des nombres premiers. La proposition 1 contient 15 (qui est $3 \times 5$) et la proposition 3 contient 22 (qui est $2 \times 11$).

Pour la question 2, décomposer $350$ demande de la méthode : $350 = 35 \times 10 = (7 \times 5) \times (2 \times 5) = 2 \times 5^2 \times 7$. Cette décomposition est essentielle pour la question suivante. La question 3 nous demande le nombre maximal de lots. En mathématiques, cela revient à chercher le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD). En utilisant les décompositions : $300 = 2^2 \times 3 \times 5^2$ et $350 = 2 \times 5^2 \times 7$. Les facteurs communs sont $2$ et $5^2$. Le PGCD est donc $2 \times 25 = 50$. La responsable peut donc créer 50 lots. Enfin, pour la composition des lots (question 4), il suffit de diviser : $350 / 50 = 7$ poissons de type A et $300 / 50 = 6$ poissons de type B par lot.

Analyse de la Partie B : Volumes et Vie Courante

La seconde partie change de registre pour s'intéresser aux volumes. La difficulté ici réside dans la gestion des unités et la compréhension de la contrainte des "$\frac{4}{5}$ de la hauteur". Pour chaque aquarium, vous devez calculer le volume total puis appliquer le coefficient de remplissage.

Aquarium 1 : Le Cylindre

Le rayon $r$ est la moitié du diamètre, soit $15$ cm. Le volume $V$ est donné par $\pi \times r^2 \times h$. Soit $V = \pi \times 15^2 \times 25 \approx 17\,671$ cm³. Attention : l'aquarium n'est rempli qu'aux $\frac{4}{5}$. Le volume d'eau est donc $17\,671 \times 0,8 \approx 14\,137$ cm³. Comme $1$ dm³ = $1$ L et $1\,000$ cm³ = $1$ dm³, cela donne environ $14,1$ Litres. C'est insuffisant pour les $15$ Litres requis.

Aquarium 2 : Le Pavé Droit

Ici, $V = L \times l \times h = 28 \times 28 \times 30 = 23\,520$ cm³. Appliquons les $\frac{4}{5}$ : $23\,520 \times 0,8 = 18\,816$ cm³, soit $18,8$ Litres. Ce volume est supérieur à $15$ L, c'est donc l'aquarium 2 qu'il faut choisir.

Gestion des Pourcentages : La Remise Commerciale

La dernière question traite d'une remise de $15\%$. Le prix total initial est de $15 + 40 = 55$ euros. Appliquer une remise de $15\%$ revient à multiplier par $0,85$ (car $1 - 15/100 = 0,85$). Le calcul final est $55 \times 0,85 = 46,75$ euros. Maîtriser le coefficient multiplicateur est un gain de temps précieux lors de l'examen.

Les Pièges à Éviter

• Rayon vs Diamètre : Dans le calcul du cylindre, n'utilisez jamais le diamètre $30$ directement dans la formule $\pi r^2 h$. Divisez-le toujours par $2$.
• Unités de volume : N'oubliez pas que $1$ Litre n'est pas égal à $1$ cm³. La conversion par le décimètre cube est l'étape de sécurité indispensable.
• La hauteur de remplissage : Il est fréquent d'oublier de multiplier par la fraction de remplissage (ici $\frac{4}{5}$). Lisez bien l'énoncé jusqu'au bout.

Conseils de Rédaction

Pour obtenir le maximum de points :
1. Nommez clairement les théorèmes ou propriétés utilisés (ex: "On cherche le PGCD de 300 et 350 pour trouver le nombre de lots").
2. Présentez vos calculs de volume avec les unités à chaque étape importante.
3. Concluez chaque question par une phrase réponse claire, notamment pour le choix de l'aquarium.