Introduction aux fondamentaux de la géométrie au Brevet

L'exercice 3 du brevet de mathématiques 2021 (zone Polynésie) est un véritable condensé du programme de troisième. Il mobilise quatre piliers essentiels : le théorème de Pythagore, la trigonométrie, le calcul d'aires et périmètres, et enfin la démonstration du parallélisme via la réciproque du théorème de Thalès. Ce type d'exercice est dit "complet" car il demande à l'élève de passer d'une logique de calcul à une logique de démonstration pure. Dans cet article, nous allons décomposer chaque étape pour comprendre comment obtenir le maximum de points lors de l'examen.

1. Démontrer qu'un triangle est rectangle : La réciproque de Pythagore

Pour la première question, l'objectif est de vérifier si le triangle $ABC$ respecte l'égalité de Pythagore. Nous connaissons les trois longueurs : $AC = 8$ cm, $BC = 15$ cm et $AB = 17$ cm. Dans une rédaction de type Brevet, il est crucial d'identifier d'abord le côté le plus long (l'hypoténuse potentielle). Ici, il s'agit de $[AB]$.

Calculons séparément :
- D'une part : $AB^2 = 17^2 = 289$
- D'autre part : $AC^2 + BC^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$

On constate que $AB^2 = AC^2 + BC^2$. D'après la réciproque du théorème de Pythagore, nous pouvons affirmer que le triangle $ABC$ est rectangle en $C$. Sans cette séparation de calculs et la citation précise de la propriété, le correcteur pourrait retirer des points.

2. Calculer l'aire d'un triangle rectangle

L'aire d'un triangle se calcule avec la formule : $\frac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2}$. Dans le cas spécifique d'un triangle rectangle, les deux côtés de l'angle droit servent respectivement de base et de hauteur. Pour le triangle $ABC$, on utilise donc les segments $[AC]$ et $[BC]$.

Application numérique : $\text{Aire} = \frac{8 \times 15}{2} = \frac{120}{2} = 60 \text{ cm}^2$.
Attention au piège : Ne confondez jamais l'aire (en $\text{cm}^2$) avec le périmètre. L'unité est indispensable dans votre réponse finale pour ne pas perdre de précieux points de présentation.

3. Maîtriser la trigonométrie : Calcul d'angle

La question 3 demande de trouver une valeur approchée de l'angle $\widehat{BAC}$. Puisque le triangle est rectangle en $C$, nous pouvons utiliser les formules de trigonométrie (SOH CAH TOA). Nous avons le choix entre le sinus, le cosinus et la tangente car nous connaissons tous les côtés. Utilisons le cosinus par exemple :

$\cos(\widehat{BAC}) = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}} = \frac{AC}{AB} = \frac{8}{17}$.

En utilisant la calculatrice (touche $\arccos$ ou $\cos^{-1}$), on trouve $\widehat{BAC} \approx 61,92^{\circ}$. L'énoncé demande un arrondi au degré près, donc la réponse attendue est $62^{\circ}$. Vérifiez toujours que votre calculatrice est bien en mode "Degrés" avant l'épreuve.

4. Calcul de périmètre : Ne pas oublier de segments

Le périmètre du triangle $CDE$ est simplement la somme de ses trois côtés : $CD + DE + CE$. D'après l'énoncé et la figure :
- $CE = 12$ cm
- $DE = 13$ cm
- $CD = 2,4$ cm (donnée extraite de la figure/contexte).

Le calcul est direct : $P = 12 + 13 + 2,4 = 27,4$ cm. C'est une question de transition qui permet de tester la lecture de figure et la rigueur de l'élève. Même si cela semble simple, une erreur d'étourderie est vite arrivée.

5. Les droites (AB) et (DE) sont-elles parallèles ?

C'est la question la plus technique de l'exercice. Pour prouver que des droites sont parallèles (ou non), on utilise généralement la réciproque ou la contraposée du théorème de Thalès. Les points $A, C, D$ d'une part et $B, C, E$ d'autre part sont alignés dans le même ordre car $C$ est l'intersection des droites $(BE)$ et $(AD)$.

Comparons les rapports de longueurs depuis le sommet commun $C$ :
- Rapport 1 : $\frac{CA}{CD} = \frac{8}{2,4} = \frac{80}{24} = \frac{10}{3} \approx 3,33$
- Rapport 2 : $\frac{CB}{CE} = \frac{15}{12} = 1,25$

Puisque $\frac{CA}{CD} \neq \frac{CB}{CE}$, l'égalité de Thalès n'est pas vérifiée. Par conséquent, les droites $(AB)$ et $(DE)$ ne sont pas parallèles. Cette démonstration nécessite d'être très clair sur la différence entre une égalité (parallélisme) et une inégalité (non-parallélisme).

Conseils de rédaction pour le jour J

Pour briller au Brevet, la clarté est votre meilleure alliée. Pour chaque question :
1. Énoncez la propriété ou le théorème utilisé (ex: "Dans le triangle rectangle en C...").
2. Présentez vos calculs de manière aérée.
3. Concluez par une phrase soulignée incluant l'unité correcte.
L'utilisation du LaTeX pour vos formules mathématiques sur papier est impossible, mais assurez-vous que vos fractions sont bien lisibles. En géométrie, le raisonnement compte autant, sinon plus, que le résultat final.