Introduction : L'importance de l'algorithmique au Brevet

L'exercice 4 du sujet de Brevet de Mathématiques 2021 (Métropole) est un classique incontournable qui combine l'algorithmique avec Scratch et la géométrie plane. L'objectif est d'évaluer la capacité de l'élève à lire un script, à anticiper le tracé d'un lutin et à mobiliser des connaissances sur les polygones réguliers (triangle équilatéral et carré). Maîtriser ces notions est crucial, car l'algorithmique représente souvent entre 10 et 15 points sur l'épreuve finale.

Analyse méthodologique de la Question 1 : Identification et Scratch

La première partie de l'exercice demande d'identifier la nature des figures. En observant les scripts, on remarque une boucle "répéter 3 fois" associée à une rotation de $120^{\circ}$. Le calcul de l'angle extérieur est ici la clé : $360^{\circ} / 3 = 120^{\circ}$. Cela confirme que le lutin trace un triangle équilatéral. Pour le quadrilatère, la boucle "répéter 4 fois" avec une rotation de $90^{\circ}$ ($360^{\circ} / 4 = 90^{\circ}$) indique la construction d'un carré.

Pour la question 1.b, la ligne 8 correspond à l'instruction "avancer de [?] pas" à l'intérieur de la boucle du carré. Puisque les figures A, B et C sont constituées de triangles et de quadrilatères identiques, et que le triangle a des côtés de 100 pas (ligne 4), on doit observer les schémas fournis. Cependant, l'énoncé précise que les figures sont constituées de formes identiques. En observant attentivement la Figure A, on voit que le carré est tracé à partir d'un côté du triangle. La valeur manquante est la longueur du côté du carré.

Analyse de la Question 1.c : Associer programmes et figures

C'est ici que l'analyse du mouvement de transition entre les deux boucles est fondamentale :

• Programme 1 : Après le triangle, le lutin avance de 50 pas avant de tracer le carré. Cela correspond à la Figure C, où le carré est décalé par rapport au sommet du triangle.
• Programme 2 : Le lutin avance de 100 pas (soit la longueur exacte d'un côté du triangle) avant de commencer le carré. Cela correspond à la Figure B.
• Programme 3 : Ici, pas de mouvement de translation pure, mais une rotation de $60^{\circ}$ (angle complémentaire pour s'aligner sur un autre côté). Cela correspond à la Figure A, où le carré subit une rotation par rapport à l'horizontale.

Analyse de la Question 2 : Calcul littéral et périmètres

La question 2 introduit une dimension algébrique. On cherche à ce que le périmètre du carré soit égal au périmètre du triangle.

Le triangle est équilatéral avec des côtés de 100 pas. Son périmètre est donc : $P_{triangle} = 3 \times 100 = 300$ pas. Soit $x$ la valeur du pas pour le carré (ligne 8). Le périmètre du carré est $P_{carre} = 4 \times x$. On résout l'équation suivante :
$$4x = 300$$
$$x = \frac{300}{4} = 75$$
La valeur à choisir à la ligne 8 est donc 75 pas.

Les pièges à éviter lors de l'examen

Le piège principal dans les exercices Scratch de géométrie réside dans la confusion entre l'angle interne de la figure et l'angle de rotation du lutin. Pour un triangle équilatéral, l'angle interne est de $60^{\circ}$, mais le lutin doit tourner de son supplémentaire, soit $180 - 60 = 120^{\circ}$. De même, pour le tracé sur copie (Question 2.b), veillez à respecter l'échelle : 1 cm pour 25 pas. Si le côté du carré fait 75 pas, il devra mesurer $75 / 25 = 3$ cm sur votre feuille. Le côté du triangle (100 pas) mesurera $100 / 25 = 4$ cm.

Conseils de rédaction pour maximiser les points

Pour la question sur la valeur du pas (2.a), ne donnez pas juste le résultat. Rédigez ainsi : "Le triangle a 3 côtés de 100 pas, donc son périmètre est de 300 pas. Pour que le carré ait le même périmètre, chaque côté doit mesurer $300 / 4 = 75$ pas." Une telle clarté rassure le correcteur et garantit l'intégralité des points. N'oubliez pas de mentionner les unités (pas ou cm selon le contexte) pour éviter toute perte de points bête.