Analyse de l'énoncé : Les fondamentaux des automatismes
Cet exercice, bien qu'extrait d'un sujet de 2019, s'inscrit parfaitement dans la partie « Automatismes » du programme de Mathématiques de Première Spécialité. Il sollicite des compétences de modélisation simples mais cruciales : l'estimation de distances, le calcul de vitesse avec conversion d'unités et la gestion des évolutions en pourcentage via les coefficients multiplicateurs.
1. Modélisation de la distance (Logique des Suites)
Dans la première question, l'enjeu est de ne pas tomber dans le piège classique consistant à multiplier le nombre de stations par la distance. Si l'on considère les stations comme les termes d'une suite arithmétique $u_n$, la distance totale entre la station $1$ et la station $n$ est représentée par le nombre d'intervalles, soit $(n-1) \times r$, où $r$ est la distance moyenne. Pour 4 stations, nous avons 3 intervalles de 450 mètres.
Calcul : $3 \times 450 = 1350$ mètres. La distance estimée est donc de 1,35 km.
2. Vitesse moyenne et conversion du temps
La vitesse moyenne est régie par la formule $v = \frac{d}{t}$. La principale difficulté réside dans l'unité de temps. Le trajet dure 24 minutes, or la vitesse est attendue en km/h. Il faut donc convertir les minutes en heures décimales :
- $t = \frac{24}{60} = 0,4$ heure.
- $v = \frac{9,9 \text{ km}}{0,4 \text{ h}} = 24,75 \text{ km/h}$.
Ce type de calcul est un automatisme essentiel pour les épreuves communes de contrôle continu.
3. Évolutions : Le coefficient multiplicateur
La gestion des pourcentages en Première Spécialité doit impérativement passer par l'usage du coefficient multiplicateur. Une augmentation de $t\%$ correspond à une multiplication par $(1 + \frac{t}{100})$.
Ici, pour une hausse de $40\%$, le coefficient est $1 + 0,40 = 1,4$.
Calcul du prix : $190 \times 1,4 = 266$ Francs. Cette méthode est beaucoup plus efficace et moins sujette à erreur que le calcul de la hausse suivi d'une addition.
Points de vigilance pour le Bac
Assurez-vous de toujours vérifier la cohérence de vos unités (km, h, km/h) et de bien lire si l'énoncé demande une valeur exacte ou arrondie. En Première Spécialité, la rigueur sur les coefficients multiplicateurs est la clé pour aborder sereinement les suites géométriques et les fonctions exponentielles plus tard dans l'année.