Introduction aux notions fondamentales du Brevet

L'exercice 1 du sujet du Brevet de Mathématiques 2018 en Polynésie est une synthèse exceptionnelle des compétences attendues en fin de cycle 4. Il se présente sous la forme d'un QCM ou d'un exercice de type « Vrai/Faux » avec justification. Ce format est particulièrement prisé par les concepteurs de sujets car il permet de tester en un minimum de temps une grande variété de domaines : l'arithmétique, les probabilités, les puissances, les pourcentages et la modélisation algébrique (équations/inéquations).

Maîtriser ce type d'exercice est crucial pour obtenir une mention. Il ne suffit pas de deviner la réponse ; la rigueur de la justification est ce qui garantit l'obtention des points. Dans cet article, nous allons décomposer chaque affirmation pour en extraire la logique mathématique sous-jacente.

Analyse de l'Affirmation 1 : Probabilités et Diviseurs

La première affirmation nous plonge dans l'univers des probabilités discrètes. On lance un dé équilibré à six faces, ce qui définit notre univers $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. La question porte sur la probabilité d'obtenir un diviseur de $6$.

Le raisonnement mathématique : Tout d'abord, listons les diviseurs de $6$. Un diviseur est un entier naturel qui divise $6$ sans reste. Ici, les diviseurs sont $1$, $2$, $3$ et $6$. Il y a donc $4$ issues favorables. Puisque le dé est équilibré, nous sommes dans une situation d'équiprobabilité. La probabilité est donc de $\frac{4}{6}$. En simplifiant la fraction par $2$, nous obtenons $\frac{2}{3}$.

Le piège à éviter : Beaucoup d'élèves oublient le chiffre $1$ ou le chiffre $6$ lui-même dans la liste des diviseurs. Rappelez-vous que tout nombre $n$ est divisible par $1$ et par lui-même. Ici, l'affirmation est donc vraie.

Analyse de l'Affirmation 2 : Arithmétique et Puissances

Ici, on nous présente deux nombres sous forme de produits de facteurs premiers : $a = 3^4 \times 7$ et $b = 2 \times 3^5 \times 7^2$. L'affirmation soutient que $b$ est un multiple de $a$.

Le raisonnement mathématique : Dire que $b$ est un multiple de $a$ revient à dire qu'il existe un entier $k$ tel que $b = a \times k$. Analysons les exposants des facteurs communs. Pour $a$, nous avons $3^4$ et $7^1$. Pour $b$, nous avons $3^5$ (qui est $3^4 \times 3$) et $7^2$ (qui est $7^1 \times 7$). On peut donc réécrire $b$ de la manière suivante : $b = (3^4 \times 7) \times (2 \times 3^1 \times 7^1)$. En posant $k = 2 \times 3 \times 7 = 42$, on voit clairement que $b = a \times 42$. Comme $42$ est un entier, $b$ est bien un multiple de $a$.

Le conseil du prof : Ne calculez jamais la valeur numérique de $a$ et $b$ ! Travailler sur les puissances est beaucoup plus rapide et évite les erreurs de calcul sur de grands nombres. L'affirmation est vraie.

Analyse de l'Affirmation 3 : Pourcentages d'évolution

Cette question traite de l'augmentation du nombre de licenciées de football féminin entre 2014 ($76000$) et 2016 ($98800$).

Le raisonnement mathématique : Pour calculer un taux d'évolution, on utilise la formule : $\frac{\text{Valeur Finale} - \text{Valeur Initiale}}{\text{Valeur Initiale}} \times 100$. Appliquons-la : $\frac{98800 - 76000}{76000} = \frac{22800}{76000}$. Après calcul, on obtient $0,3$. En multipliant par $100$ pour obtenir un pourcentage, on trouve exactement $30$\%.

Le piège à éviter : Ne pas confondre la valeur de l'augmentation ($22800$) avec le pourcentage d'augmentation. Vérifiez toujours si vous divisez par la valeur de départ (2014) et non celle d'arrivée (2016). L'affirmation est vraie.

Analyse de l'Affirmation 4 : Modélisation et Inéquations

C'est l'affirmation la plus complexe car elle nécessite de traduire un énoncé textuel en langage algébrique. Soit $x$ le prix d'un pull.

Le raisonnement mathématique : La personne A dépense $x + 54$. La personne B achète trois pulls, soit $3x$. On nous dit que B dépense plus que A, ce qui se traduit par l'inéquation : $3x > x + 54$. On teste l'affirmation : si le pull coûte $25$ euros, alors $3 \times 25 = 75$ (dépense de B) et $25 + 54 = 79$ (dépense de A). Or, $75$ n'est pas supérieur à $79$.

Conclusion : L'affirmation est donc fausse. Pour que B dépense plus que A, il faudrait que $2x > 54$, soit $x > 27$ euros par pull.

Conseils de rédaction pour le jour J

Pour réussir cet exercice au Brevet, la présentation est primordiale :
1. Annoncez clairement votre position (Vrai ou Faux).
2. Présentez vos calculs de manière structurée avec les formules utilisées.
3. Concluez par une phrase qui répond précisément à la question posée ("L'élève a raison" ou "Le journaliste a tort").
En respectant cette structure, vous montrez au correcteur que vous maîtrisez non seulement les concepts mathématiques, mais aussi la logique argumentative demandée au collège.