Analyse de l'énoncé
Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de fin de collège, constitue un excellent test de positionnement pour les élèves de Première Spécialité. Il mobilise des compétences fondamentales en géométrie du plan et de l'espace, ainsi qu'en trigonométrie. L'objectif est de résoudre un problème concret de construction divisé en deux parties : le calcul du coût d'une toiture et le choix optimal d'un système de climatisation basé sur un volume.
Points de vigilance (Notions de cours requises)
- Trigonométrie (SOH-CAH-TOA) : Savoir choisir entre sinus, cosinus et tangente dans un triangle rectangle.
- Calcul de surfaces et volumes : Distinguer l'aire d'un rectangle (toiture) et le volume d'un pavé droit (réfectoire).
- Arrondis et précision : Respecter les consignes de précision (au centimètre près) pour éviter les erreurs de propagation dans les calculs financiers.
- Lecture de données : Extraire des informations pertinentes de tableaux techniques.
Guide de résolution détaillé
Partie 1 : Budget des tuiles
1. Dans le triangle ADE, rectangle en E (E étant le pied de la hauteur issue de A), nous savons que l'angle $\widehat{EAD} = 38^\circ$ et que le côté opposé $ED = 5,06 / 2 = 2,53$ m.
2. Pour calculer AD (hypoténuse) : $\sin(38^\circ) = \frac{ED}{AD} \Rightarrow AD = \frac{2,53}{\sin(38^\circ)} \approx 4,11$ m.
3. Pour calculer AE (hauteur) : $\tan(38^\circ) = \frac{ED}{AE} \Rightarrow AE = \frac{2,53}{\tan(38^\circ)} \approx 3,24$ m.
4. L'aire du toit est composée de deux rectangles de dimensions $AD \times AB$. Soit Aire $= 2 \times (4,11 \times 13) = 106,86$ m².
5. Le nombre de tuiles est $106,86 \times 26 \approx 2779$ tuiles. Le coût total est $2779 \times 0,65 = 1806,35$ €.
Partie 2 : Choix du climatiseur
1. Le volume du rez-de-chaussée est un pavé droit : $V = 13 \times 5,06 \times 2,70 = 177,606$ m³.
2. En consultant le document 3, un volume de $177$ m³ nécessite une puissance comprise entre $18000$ BTU (pour $150$ m³) et $25000$ BTU (pour $250$ m³). Par sécurité, il faut choisir une puissance d'au moins $25000$ BTU.
3. Le modèle le moins cher offrant au moins $25000$ BTU est le Air 10 pingouin à $990$ € ($27000$ BTU).