Introduction à l'algorithmique au Brevet des Collèges

Depuis la réforme du collège, l'algorithmique occupe une place prépondérante dans l'épreuve de Mathématiques du Brevet. Cet exercice de la session 2017 (Métropole) porte spécifiquement sur la compréhension de scripts Scratch, la gestion des variables et le tracé géométrique. L'objectif est de tester la capacité de l'élève à lire un programme, à simuler son exécution « à la main » et à identifier les structures itératives (boucles) et les incrémentations de variables.

Analyse de l'énoncé et des blocs Scratch

L'exercice présente un programme principal et un bloc personnalisé nommé « un tour ». La compréhension de la structure est la clé de la réussite. Le programme utilise une variable appelée longueur. Au début du script, cette variable est initialisée à $30$ unités. Une unité correspond ici à un pixel, et l'énoncé précise l'échelle : $30$ unités = $1$ cm.

Le bloc « un tour » est le cœur de la logique. Il se décompose en deux parties :
1. Une première boucle « répéter 2 fois » : le stylo avance de longueur puis tourne à gauche de $90$ degrés.
2. Une étape cruciale : on ajoute $30$ à la variable longueur.
3. Une seconde boucle « répéter 2 fois » : le stylo avance de la nouvelle longueur puis tourne encore à gauche de $90$ degrés.

Analyse méthodique de la Question 1 : Tracé et Orientation

Pour la question 1.a., il faut dessiner la figure. Partons d'un point en s'orientant vers la droite (90°).
- Étape 1 : Avancer de $30$ (soit $1$ cm). Tourner à gauche (on regarde vers le haut).
- Étape 2 : Avancer de $30$ (soit $1$ cm). Tourner à gauche (on regarde vers la gauche).
- Étape 3 : La variable longueur passe à $60$ ($30 + 30$).
- Étape 4 : Avancer de $60$ (soit $2$ cm). Tourner à gauche (on regarde vers le bas).
- Étape 5 : Avancer de $60$ (soit $2$ cm). Tourner à gauche (on regarde vers la droite).

Concernant la question 1.b., après ces quatre rotations de $90$ degrés vers la gauche ($4 \times 90 = 360$), le stylo se retrouve exactement dans la même orientation qu'au départ. Le stylo est donc orienté vers la droite.

Question 2 : Figure 1 ou Figure 3 ? Le raisonnement logique

Le programme principal appelle le bloc « un tour » deux fois de suite. Entre chaque appel, la variable longueur est augmentée de $30$ à la fin du bloc personnalisé, mais aussi dans la boucle principale. Cela signifie que la spirale s'agrandit de manière constante. Dans la Figure 1, le tracé s'effectue vers l'extérieur sans jamais croiser le tracé précédent de manière incohérente avec les angles de $90$ degrés. La Figure 3 semble montrer un rétrécissement ou un décalage différent. En simulant les valeurs successives de la variable ($30, 60$ lors du premier tour, puis $90, 120$ lors du second), on constate que le tracé s'écarte du centre. C'est donc la Figure 1 qui correspond au script.

Question 3 : Modification pour la Figure 2 (L'approche géométrique)

La Figure 2 est radicalement différente des deux autres : elle ne possède pas d'angles droits. On y voit une forme polygonale évoquant des triangles ou des hexagones. Pour obtenir ce type de figure « en étoile » ou hexagonale, il faut modifier l'angle de rotation. Dans Scratch, pour tracer un polygone régulier, l'angle de rotation est égal à $360 / n$ (où $n$ est le nombre de côtés). Ici, la figure présente des angles de $60$ degrés ou $120$ degrés. Pour modifier le bloc « un tour », il faut remplacer l'instruction « tourner à gauche de 90 degrés » par « tourner à gauche de 60 degrés » (ou une autre valeur angulaire selon le motif souhaité, comme illustré par les vecteurs dans le code LaTeX).

Les pièges à éviter le jour du Brevet

1. L'oubli de l'incrémentation : Beaucoup d'élèves oublient que la valeur de la variable change pendant l'exécution. Il faut tenir un brouillon avec les valeurs successives de longueur.
2. Le sens de rotation : Ne pas confondre « tourner à gauche » (sens anti-horaire) et « tourner à droite » (sens horaire).
3. L'échelle : Si l'énoncé demande de dessiner à l'échelle ($1$ cm pour $30$ pixels), utilisez bien votre règle. Un trait de $60$ pixels doit mesurer exactement $2$ cm.

Conseils de rédaction pour l'examen

Pour justifier votre choix de figure à la question 2, n'hésitez pas à écrire les premières valeurs de la variable : « Au début, longueur = 30. Après deux segments, longueur passe à 60. Le script s'exécute à nouveau avec des valeurs croissantes, ce qui correspond à l'agrandissement observé sur la Figure 1 ». Une réponse argumentée avec des chiffres issus du script garantit le maximum de points.