Introduction aux notions de l'exercice

Cet exercice issu du sujet de Polynésie 2017 est un parfait exemple de l'interdisciplinarité entre les mathématiques fondamentales et l'informatique, introduite au collège. Il mobilise deux thématiques majeures du programme de 3ème : l'algorithmique-programmation via le logiciel Scratch et la résolution d'équations/inéquations. L'objectif est de comprendre comment un programme de calcul textuel se traduit par une expression littérale et comment cette expression peut être intégrée dans une structure de contrôle logique (si alors sinon).

Analyse Méthodique : Du programme de calcul à l'expression

La première partie de l'exercice demande de tester le programme de calcul. Choisir un nombre, le multiplier par $-4$, puis ajouter $5$. Si l'on choisit $-2$, le calcul se décompose ainsi : $(-2) \times (-4) = 8$. Puis $8 + 5 = 13$. Cette question permet de vérifier la maîtrise de la règle des signes : le produit de deux nombres négatifs est positif. C'est une erreur classique que les élèves doivent éviter dès l'entame du sujet.

Remonter le programme : Le chemin inverse

La deuxième question demande de trouver le nombre de départ pour obtenir $-3$. C'est une initiation à la résolution d'équations. Soit $x$ le nombre de départ, nous avons l'équation $-4x + 5 = -3$. Pour isoler $x$, on soustrait $5$ de chaque côté, obtenant $-4x = -8$. En divisant par $-4$, on trouve $x = 2$. Méthodologiquement, on peut aussi "remonter" le programme : partir du résultat $(-3)$, soustraire $5$ (l'inverse de l'addition) pour obtenir $-8$, puis diviser par $-4$ (l'inverse de la multiplication) pour retrouver $2$.

Algorithmique : Interprétation du script Scratch

La troisième question introduit un script Scratch. Il est crucial de comprendre que le bloc réponse stocke la valeur saisie par l'utilisateur. Le bloc de test si -4 * réponse + 5 < 0 alors est le cœur de l'algorithme. Pour $12$, le calcul devient $-4 \times 12 + 5 = -48 + 5 = -43$. Comme $-43 < 0$, la condition est vraie, le lutin dira donc "Bravo". Pour $-5$, on a $-4 \times (-5) + 5 = 20 + 5 = 25$. Ici $25 > 0$, donc la condition est fausse, le lutin dira "Essaie encore". Cette analyse demande de bien distinguer la structure conditionnelle et de ne pas se précipiter dans le calcul mental.

Inéquations : La manipulation des symboles d'ordre

La quatrième question demande de résoudre l'inéquation littérale $-4x + 5 < 0$. C'est l'étape la plus technique de l'exercice. La résolution suit les mêmes étapes qu'une équation, à une exception près : le changement de sens de l'inégalité. En effet, $-4x < -5$ devient $x > \frac{-5}{-4}$ soit $x > 1,25$. Il est impératif d'expliquer au correcteur que l'on change le sens de l'inégalité car on divise par un nombre négatif ($-4$). Sans cette précision, la résolution est mathématiquement incomplète.

Conclusion et condition de succès

La dernière question fait la synthèse entre l'inéquation et l'algorithme. Pour être certain que le lutin dise "Bravo", le résultat du calcul doit être strictement inférieur à $0$. D'après la résolution précédente, cela se produit dès que le nombre choisi au départ est strictement supérieur à $1,25$. C'est une excellente illustration de l'utilité des inéquations pour définir des zones de validité dans un programme informatique.

Les Pièges à Éviter

• La règle des signes : Ne pas oublier que $(-4) \times (-5)$ donne un résultat positif.
• L'inversion du signe : Dans l'inéquation, ne pas retourner le symbole $<$ en $>$ lors de la division finale est l'erreur la plus fréquente.
• Confusion dans Scratch : Bien lire le bloc dire situé dans le sinon pour ne pas inverser les réponses "Bravo" et "Essaie encore".

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Pour maximiser les points, détaillez chaque étape de calcul. N'écrivez pas seulement le résultat final. Pour la question 4, utilisez des phrases de liaison comme : "En isolant l'inconnue $x$" ou "En divisant par un nombre négatif, on change le sens de l'inégalité". Une copie claire avec des étapes logiques rassure le correcteur sur votre compréhension réelle des mécanismes algébriques.