Introduction aux notions de fonctions au Brevet

Cet exercice issu du sujet d'Amérique du Nord 2026 est une synthèse parfaite des compétences attendues en fin de troisième. Il articule trois modes de représentation d'une fonction : l'expression algébrique, le tableau de valeurs (via un tableur) et la représentation graphique. Les thèmes abordés ici sont les fonctions affines, les fonctions du second degré, ainsi que la résolution d'équations par lecture graphique et par le calcul. Maîtriser ces concepts est indispensable pour obtenir une mention au Diplôme National du Brevet (DNB).

Analyse Méthodique de l'Exercice

1. Calcul d'images : la rigueur algébrique

La première question demande de calculer $f(-4)$. Pour réussir, l'élève doit substituer la variable $x$ par la valeur donnée dans l'expression $f(x) = (x-1)(x+3)$. Le calcul devient alors : $f(-4) = (-4-1) \times (-4+3)$. Une erreur classique consiste à mal gérer les nombres relatifs. Ici, $(-4-1) = -5$ et $(-4+3) = -1$. Le produit de deux nombres négatifs étant positif, on obtient $f(-4) = 5$. Conseil pédagogique : Toujours écrire les étapes intermédiaires pour éviter les erreurs de signe, très fréquentes dans ce type de question.

2. Recherche d'antécédent : l'équation à résoudre

Déterminer l'antécédent de 2 par $g$ revient à résoudre l'équation $g(x) = 2$. Avec $g(x) = 2x+1$, on pose $2x+1 = 2$. En isolant $x$, on obtient $2x = 1$, soit $x = 0,5$. L'élève doit comprendre que chercher une image est un calcul direct, tandis que chercher un antécédent nécessite souvent une résolution d'équation de degré 1.

3. Utilisation du tableur : syntaxe et logique

Le tableur est un outil central du programme de 3ème. Pour la formule en cellule B3 (ligne de la fonction $g$), il faut traduire l'expression $2x+1$ en langage tableur. La valeur de $x$ se trouve en cellule B1. La formule correcte est donc =2*B1+1. L'oubli du signe "=" est l'erreur la plus commune. La question 3b demande une lecture horizontale : on cherche dans les lignes 2 et 3 où les valeurs de $f(x)$ et $g(x)$ sont identiques. Pour $x=2$, on remarque que $f(2)=5$ et $g(2)=5$. Donc, 2 est une solution évidente de l'équation $f(x)=g(x)$.

4. Lecture graphique et identification

La distinction entre une fonction affine et une fonction du second degré est visuelle : $g(x) = 2x+1$ est représentée par une droite (fonction affine), notée $\mathcal{C}_2$. $f(x)$ est une fonction du second degré (forme factorisée), sa courbe est une parabole, notée $\mathcal{C}_1$. Pour résoudre graphiquement $f(x)=g(x)$, on cherche les abscisses des points d'intersection des deux courbes. On observe deux points de contact : l'un à $x=2$ (confirmé par le tableau) et l'autre à $x=-2$. La lecture graphique doit être précise, même si ici les valeurs tombent sur des intersections du quadrillage.

5. L'affirmation de Lola : la preuve par le développement

Lola compare $f(x)=g(x)$ à $x^2-4=0$. Pour vérifier, il faut développer l'équation initiale : $(x-1)(x+3) = 2x+1$. En utilisant la double distributivité, on obtient $x^2 + 3x - x - 3 = 2x + 1$, ce qui se simplifie en $x^2 + 2x - 3 = 2x + 1$. En soustrayant $2x$ et 1 de chaque côté, on arrive à $x^2 - 4 = 0$. Lola a donc raison. Cette question évalue la capacité à transformer une expression littérale pour prouver une équivalence.

Les Pièges à Éviter

• Les signes : Ne confondez pas soustraction et multiplication de nombres relatifs.
• Tableur : Ne pas confondre le nom de la cellule (B1) avec la valeur qu'elle contient (0).
• Vocabulaire : Ne pas confondre image (ordonnée $y$) et antécédent (abscisse $x$).
• Graphique : Bien regarder l'échelle des axes avant de conclure.

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Pour obtenir le maximum de points, soignez la présentation. Pour la question 1, écrivez explicitement la substitution. Pour la lecture graphique, faites une phrase complète : "Les courbes se coupent aux points d'abscisses -2 et 2, donc les solutions sont... ". Pour le tableur, n'oubliez pas d'indiquer que la formule est "étirée", ce qui justifie l'utilisation des références relatives comme B1.