Introduction : Les bases de l'Arithmétique au Brevet
L'arithmétique est un pilier fondamental du programme de mathématiques de 3ème. Cet exercice, extrait du sujet de la Métropole 2026, se concentre sur une situation concrète : la répartition d'objets (ici des bonbons) dans des contenants (des sachets). Pour réussir ce type d'exercice le jour du Brevet, il est impératif de maîtriser trois notions clés : la divisibilité, la décomposition en facteurs premiers et la recherche du Plus Grand Commun Diviseur (PGCD). Ces concepts permettent de résoudre des problèmes de partage équitable sans reste, une thématique récurrente qui garantit souvent entre 10 et 15 points sur le barème total.
Analyse Méthodique de l'Exercice
L'énoncé nous présente une situation de partage avec deux contraintes majeures : l'intégralité du stock doit être utilisée et chaque sachet doit être identique (même nombre de bonbons de chaque sorte). Nous partons d'un inventaire de $112$ bonbons à la fraise et $140$ bonbons au caramel.
Question 1 : Tester la divisibilité
La question demande si l'on peut constituer $16$ sachets. En mathématiques, cela revient à se demander si $16$ est un diviseur commun à $112$ et $140$. Analysons les calculs :
Pour les bonbons à la fraise : $112 \div 16 = 7$. C'est un nombre entier, donc le partage est possible pour la fraise.
Pour les bonbons au caramel : $140 \div 16 = 8,75$. Ce n'est pas un nombre entier. Dans un problème de ce type, on ne peut pas couper les bonbons !
Conclusion : Comme $16$ ne divise pas $140$, il est impossible de constituer $16$ sachets respectant les consignes.
Question 2 : La décomposition en facteurs premiers
La décomposition est l'outil ultime pour comprendre la structure d'un nombre. On nous donne $112 = 2^{4} \times 7$. Pour $140$, appliquons la méthode pas à pas :
1. $140$ est pair, donc $140 = 2 \times 70$.
2. $70$ est pair, donc $70 = 2 \times 35$, d'où $140 = 2^2 \times 35$.
3. $35$ se termine par $5$, donc il est divisible par $5$ : $35 = 5 \times 7$.
4. On obtient finalement : $140 = 2^{2} \times 5 \times 7$.
Cette forme est dite "canonique". Tous les facteurs ($2$, $5$ et $7$) sont des nombres premiers. Cette décomposition facilite grandement la recherche des diviseurs communs.
Question 3 : Optimisation et composition (Le PGCD)
On cherche le nombre maximal de sachets. Mathématiquement, nous cherchons le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) de $112$ et $140$. En utilisant les décompositions :
- $112 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 7$
- $140 = 2 \times 2 \times 5 \times 7$
Les facteurs communs sont deux fois le chiffre $2$ et une fois le chiffre $7$. Le PGCD est donc $2 \times 2 \times 7 = 28$.
Le nombre maximal de sachets est donc $28$.
Composition de chaque sachet :
Pour les fraises : $112 \div 28 = 4$ bonbons.
Pour les caramels : $140 \div 28 = 5$ bonbons.
Chaque sachet contiendra donc $9$ bonbons au total ($4$ fraises et $5$ caramels). On vérifie par le calcul : $28 \times 9 = 252$, et $112 + 140 = 252$. Le compte est bon !
Les Pièges à éviter
Le piège classique lors de la première question est de ne vérifier la division que pour le premier nombre ($112$). Si l'un des deux résultats n'est pas entier, la réponse est négative. Un autre piège réside dans la décomposition : oubliez un facteur premier ou s'arrêter à un nombre non premier (comme $35$ ou $14$) fausserait tout le raisonnement du PGCD. Enfin, attention à bien lire la question : si on demande la composition, il faut donner le nombre de bonbons par catégorie et non juste le total.
Conseils de Rédaction pour le Jour J
Pour obtenir le maximum de points, ta rédaction doit être irréprochable. Utilise des phrases types : "Le nombre de sachets doit être un diviseur commun à 112 et 140". Pour la question sur le maximum, précise explicitement : "Le nombre maximal de sachets correspond au PGCD de 112 et 140". Ne te contente pas de poser les divisions, explique pourquoi tu les fais. Une copie claire avec des résultats encadrés est une copie qui plaît au correcteur.