Introduction aux Programmes de Calcul et à l'Algorithmique

L'exercice 3 du sujet Brevet 2026 (Zone Étrangers) est un classique incontournable qui combine trois piliers du programme de mathématiques de 3ème : le calcul numérique, l'algèbre (développement et résolution d'équations) et l'algorithmique avec Scratch. Ce type d'exercice évalue la capacité de l'élève à passer d'un langage naturel (énoncé) à un langage formel (expressions littérales) puis à un langage de programmation. Comprendre la structure de ces programmes est essentiel pour aborder sereinement l'épreuve de mathématiques du Diplôme National du Brevet (DNB).

Analyse Méthodique du Programme A et B

Le Programme A est présenté sous forme de schéma. Il s'agit d'une structure arborescente. En partant d'un nombre $x$, on suit deux branches : l'une ajoute 6 ($x+6$), l'autre soustrait 4 ($x-4$). L'étape finale demande de multiplier ces deux résultats. L'expression obtenue est donc $(x+6)(x-4)$.
Le Programme B est linéaire : on élève le nombre au carré puis on soustrait 9. L'expression associée est $x^2 - 9$.

Guide de Résolution Question par Question

1. Vérification avec le nombre 1 (Programme A)

Pour cette première question, il s'agit d'une simple application numérique. L'objectif est de s'approprier le fonctionnement du schéma.
Étape 1 : $1 + 6 = 7$.
Étape 2 : $1 - 4 = -3$.
Étape 3 : $7 \times (-3) = -21$.
Le résultat est bien $-21$. Conseil de prof : Attention à la règle des signes lors de la multiplication d'un nombre positif par un nombre négatif.

2. Calcul avec le nombre 10 (Programme B)

Le programme B est plus direct :
Étape 1 : $10^2 = 100$.
Étape 2 : $100 - 9 = 91$.
Le résultat obtenu est 91. Ici, l'erreur classique serait d'écrire $10 \times 2$ au lieu de $10 \times 10$.

3. Remonter le programme B pour obtenir 16

Cette question demande une réflexion inverse. On cherche $x$ tel que $x^2 - 9 = 16$.
Cela revient à résoudre $x^2 = 16 + 9$, soit $x^2 = 25$.
Attention ! Beaucoup d'élèves oublient qu'une équation de la forme $x^2 = a$ (avec $a > 0$) possède deux solutions. Les nombres possibles sont donc 5 et -5 car $5^2 = 25$ et $(-5)^2 = 25$.

4. Analyse du script Scratch

Le script Scratch simule le Programme A.
Ligne 3 : On définit la première branche. Il faut ajouter 6 à la réponse. Donc : mettre Valeur 1 à réponse + 6.
Ligne 4 : On définit la deuxième branche. Il faut soustraire 4. Donc : mettre Valeur 2 à réponse - 4.
Ligne 5 : On multiplie les deux variables. Donc : mettre Résultat à Valeur 1 * Valeur 2.
L'aspect algorithmique ici vérifie votre compréhension de la gestion des variables dans un programme.

5. Preuve Algébrique (Développement)

On nous demande de montrer que le résultat de A est $x^2 + 2x - 24$.
Partons de l'expression trouvée précédemment : $(x+6)(x-4)$.
En utilisant la double distributivité :
$(x \times x) + (x \times -4) + (6 \times x) + (6 \times -4)$
$= x^2 - 4x + 6x - 24$
$= x^2 + 2x - 24$.
La démonstration est faite. C'est une étape cruciale pour lier le calcul numérique au calcul littéral.

6. Équation : Quand les programmes A et B sont-ils égaux ?

On cherche $x$ tel que : Résultat A = Résultat B.
Soit : $x^2 + 2x - 24 = x^2 - 9$.
En soustrayant $x^2$ des deux côtés (ce qui simplifie grandement l'équation car les termes au carré s'annulent), on obtient :
$2x - 24 = -9$.
On isole $x$ : $2x = -9 + 24$, donc $2x = 15$.
Enfin, $x = 15 / 2 = 7,5$.
Le nombre de départ pour lequel les deux programmes donnent le même résultat est 7,5.

Les Pièges à Éviter

• Les signes négatifs : Dans le programme A, le calcul $1 - 4$ donne un résultat négatif. Ne pas l'oublier dans la multiplication.
• Les deux solutions du carré : À la question 3, si vous ne donnez que le chiffre 5, vous n'aurez que la moitié des points. Pensez toujours aux nombres relatifs.
• La simplification de l'équation : Ne paniquez pas devant les $x^2$. Au collège, si une équation contient des carrés, ils s'éliminent presque toujours pour laisser place à une équation du premier degré.

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Pour obtenir le maximum de points, détaillez chaque étape de vos calculs. Pour les questions Scratch, recopiez bien les blocs tels qu'ils sont demandés. Pour la démonstration algébrique, utilisez des flèches de distributivité au brouillon pour ne rien oublier, mais rendez une copie propre avec les étapes alignées verticalement. Pour l'équation finale, n'oubliez pas de conclure par une phrase : 'Le nombre de départ cherché est 7,5'.