Introduction aux notions de modélisation géométrique

L'exercice 7 du sujet de mathématiques du Brevet 2018 (Asie) est un cas d'étude complet qui mobilise des compétences essentielles du programme de 3ème : le calcul d'aires de surfaces rectangulaires, la gestion de contraintes numériques et la prise d'initiatives. Dans cet énoncé, l'élève doit se mettre dans la peau de Francis, un futur producteur d'œufs biologiques. La difficulté ne réside pas seulement dans les opérations arithmétiques, mais dans la capacité à extraire des informations d'un tableau de normes et d'un schéma pour résoudre un problème concret de la vie réelle.

Analyse Méthodique : Du Schéma au Calcul d'Aire

La première étape de l'exercice consiste à valider l'aire de la partie « plein air ». Le terrain total est un rectangle de $110$~m de long par $30$~m de large. L'aire totale se calcule par la formule $L \times l$, soit $110 \times 30 = 3300$~m². L'énoncé indique que la partie couverte occupe une surface de $150$~m². Pour trouver l'aire de la partie de plein air, il suffit de soustraire la partie couverte de l'aire totale : $3300 - 150 = 3150$~m². Ce résultat est fondamental car il servira de base à toutes les vérifications ultérieures.

Évaluation des Contraintes : L'élevage de 800 poules

La question 2 demande si Francis peut élever $800$ poules. Ici, l'élève doit vérifier simultanément deux critères imposés par le cahier des charges de l'agriculture biologique.
1. Contrainte de la partie couverte : Le maximum est de $6$ poules par m². Avec $150$~m², la capacité maximale est de $150 \times 6 = 900$ poules. Sur ce point, $800$ poules sont acceptables.
2. Contrainte de la partie plein air : Il faut au minimum $4$~m² par poule. Pour $800$ poules, l'espace requis est de $800 \times 4 = 3200$~m². Or, nous avons calculé précédemment que l'espace disponible n'est que de $3150$~m².
Conclusion : Comme $3200 > 3150$, la condition n'est pas remplie. Francis ne peut donc pas élever $800$ poules.

Détermination du Maximum : La Prise d'Initiative

La question 3 est la plus complexe car elle demande de déterminer le nombre maximum de poules. Il s'agit d'une situation d'optimisation sous contrainte. L'élève doit comparer les limites des deux zones :
- Limite « Couverte » : $150 \times 6 = 900$ individus.
- Limite « Plein air » : $3150 / 4 = 787,5$ individus.
Un animal ne pouvant être divisé, la limite physique et légale est imposée par la zone la plus contraignante (le facteur limitant). Ici, c'est l'espace de plein air qui restreint l'élevage à un maximum de $787$ poules. Même si le bâtiment peut en accueillir $900$, le terrain extérieur ne permet pas d'en avoir plus de $787$.

Les Pièges à Éviter

Attention à ne pas confondre les deux types de ratios : l'un est multiplicatif (6 poules par m²) et l'autre est une division ou nécessite une multiplication inverse (4 m² par poule). Une erreur fréquente est d'additionner les deux surfaces ou de ne tester qu'une seule des deux conditions. N'oubliez jamais que dans un problème de normes, c'est toujours la valeur la plus restrictive qui l'emporte. Enfin, veillez à bien lire l'unité : on parle ici de mètres carrés et d'effectifs (nombres entiers).

Conseil de Rédaction pour le Brevet

Pour obtenir le maximum de points, détaillez chaque étape de votre raisonnement. Commencez par poser les formules : « Aire = Longueur x Largeur ». Pour les questions de validation (800 poules), faites deux colonnes ou deux paragraphes distincts pour la partie couverte et la partie plein air. Concluez toujours par une phrase claire répondant précisément à la question posée. La mention « Toute trace de recherche sera prise en compte » signifie que même si vous ne trouvez pas le résultat final, vos calculs intermédiaires (comme l'aire totale du terrain) vous rapporteront des points.