Introduction aux Statistiques au Brevet
Les statistiques occupent une place centrale dans le programme de mathématiques de classe de troisième et sont quasi systématiquement présentes lors de l'examen du Brevet des collèges. Cet exercice, issu du sujet de Nouvelle-Calédonie 2015 (Exercice 5), traite de l'analyse d'une série de données brutes représentant la taille de crabes pêchés par un élève nommé Martin. L'objectif est de maîtriser les trois piliers du socle commun en statistiques : la moyenne arithmétique, la médiane (valeur centrale) et le calcul de proportions ou fréquences. À travers cette étude de cas concrète sur la biodiversité marine, nous allons explorer comment extraire des informations significatives d'une liste de nombres non ordonnée.
Analyse Méthodique de l'Exercice
L'énoncé nous fournit une série de 15 valeurs en centimètres : \(23 - 9 - 10 - 10 - 23 - 22 - 18 - 16 - 13 - 8 - 8 - 16 - 18 - 10 - 12\). Pour travailler efficacement, la première étape non demandée mais essentielle est d'ordonner la série.
1. Le calcul de la moyenne
La moyenne est le quotient de la somme de toutes les valeurs par l'effectif total. C'est un indicateur de tendance centrale qui permet de savoir quelle serait la taille de chaque crabe si tous les crabes avaient la même dimension. Pour répondre à la question 1, l'élève doit effectuer l'addition : \(23 + 9 + 10 + 10 + 23 + 22 + 18 + 16 + 13 + 8 + 8 + 16 + 18 + 10 + 12 = 218\). Puis, on divise par l'effectif total qui est de 15 crabes. Le résultat exact est \(218 / 15 \approx 14,53\) cm. Il est crucial ici de bien noter toutes les étapes du calcul sur sa copie pour justifier le résultat, même si l'usage de la calculatrice est autorisé.
2. Détermination de la médiane
La médiane est la notion qui pose souvent le plus de difficultés car elle ne dépend pas de la valeur intrinsèque des nombres mais de leur position. La médiane est la valeur qui partage la série en deux groupes d'effectifs égaux. Pour la trouver, il est impératif de ranger les données par ordre croissant : \(8 ; 8 ; 9 ; 10 ; 10 ; 10 ; 12 ; 13 ; 16 ; 16 ; 18 ; 18 ; 22 ; 23 ; 23\). L'effectif total étant impair (N = 15), la médiane est la \((15+1)/2 = 8\)-ème valeur. En comptant dans notre liste ordonnée, la 8ème valeur est 13. Cela signifie qu'il y a autant de crabes dont la taille est inférieure ou égale à 13 cm que de crabes dont la taille est supérieure ou égale à 13 cm.
3. Calcul de la proportion et enjeux écologiques
La troisième question mêle statistiques et citoyenneté. On nous informe que les crabes de moins de 14 cm doivent être relâchés. Pour trouver la proportion, on compte combien de crabes ont une taille strictement inférieure à 14 cm dans notre liste ordonnée. Ces crabes mesurent : 8, 8, 9, 10, 10, 10, 12, et 13 cm. Il y en a donc 8 au total. La proportion demandée est le rapport entre le nombre de crabes relâchés et le nombre total de crabes pêchés, soit la fraction \(8/15\). Pour une réponse complète, on peut donner cette valeur sous forme de fraction irréductible ou de pourcentage (environ 53,3 %).
Les Pièges à Éviter
Le piège le plus fréquent dans cet exercice est de calculer la médiane directement sur la liste fournie par l'énoncé sans la réorganiser. Si l'on prend la valeur centrale de la liste initiale (la 8ème), on tombe sur 16, ce qui est faux. Un autre piège réside dans l'interprétation de la consigne « moins de 14 cm ». Doit-on inclure 14 ? Le mot « moins de » signifie généralement strictement inférieur. Heureusement, ici, aucune valeur n'est égale à 14, ce qui limite le risque d'erreur de comptage. Enfin, vérifiez toujours la cohérence de vos résultats : une moyenne ou une médiane doit impérativement se situer entre la plus petite valeur (8) et la plus grande (23).
Conseils de Rédaction pour le Brevet
Pour maximiser vos points, ne donnez pas juste le résultat brut. Utilisez des phrases d'introduction pour chaque calcul : « Calculons la taille moyenne des crabes :... ». Pour la médiane, écrivez explicitement : « Je range les valeurs par ordre croissant » et montrez votre raisonnement sur l'effectif total (15 est impair). Pour la proportion, exprimez clairement la fraction avant de donner éventuellement une valeur approchée. Une copie propre, où les étapes de calcul sont visibles, rassure le correcteur sur votre maîtrise de la méthode, même en cas d'erreur de calcul mineure.