Introduction : Maîtriser les volumes et la gestion d'informations

L'exercice 6 du sujet de Brevet 2014 en Polynésie est un cas pratique exemplaire de ce que l'on appelle les 'tâches complexes'. Il mobilise quatre piliers du programme de mathématiques de 3ème : le calcul d'aires et de volumes, l'utilisation de la proportionnalité, l'analyse critique de documents (recherche d'informations) et la gestion des durées. L'objectif pour l'élève est d'aider une famille à choisir entre une piscine ronde et une piscine octogonale en fonction de critères administratifs, d'usage et techniques.

Analyse Méthodique de l'Exercice

Le sujet se décompose en trois problématiques distinctes nécessitant une lecture attentive des documents fournis. Chaque question demande d'extraire des données spécifiques dans les cinq blocs d'informations.

1. Les démarches administratives (Calcul de surface)

La première question porte sur la surface au sol. L'Information 2 stipule que si l'aire est inférieure à $10 m^2$, aucune démarche n'est nécessaire. L'élève doit donc calculer l'aire de la base de chaque piscine.
Pour la piscine ronde, la formule est $A = \pi \times R^2$. Avec un rayon de $1,70 m$, le calcul donne environ $9,08 m^2$. Étant inférieur à 10, ce modèle est exempt de démarches.
Pour la piscine octogonale, l'Information 4 donne la formule spécifique $A = 2\sqrt{2} \times R^2$. Attention ici au piège classique : le schéma indique un diamètre de $4,40 m$, donc $R = 2,20 m$. Le calcul devient $2\sqrt{2} \times 2,20^2$, soit environ $13,67 m^2$. Ce modèle impose donc des démarches administratives.

2. Confort des baigneurs (Raisonnement géométrique)

L'Information 3 impose $3,40 m^2$ par baigneur. Pour quatre personnes, la surface totale minimale requise est de $4 \times 3,40 = 13,60 m^2$. En reprenant les résultats de la question précédente, on constate immédiatement que la piscine ronde ($9,08 m^2$) est insuffisante pour accueillir toute la famille simultanément. Seule la piscine octogonale ($13,67 m^2$) respecte ce critère de confort.

3. Le remplissage : Débit et Durées

Cette question finale mélange géométrie dans l'espace et conversion de temps. Il faut d'abord calculer le volume de la piscine octogonale : $V = \text{Aire de la base} \times \text{Hauteur}$. Soit $13,67 m^2 \times 1,20 m \approx 16,404 m^3$. Puisque $1 m^3 = 1000$ litres, le volume est d'environ $16 404$ litres.
Ensuite, on calcule la durée du remplissage : du vendredi 14h00 au samedi 10h00, il s'écoule exactement 20 heures (soit $20 \times 60 = 1200$ minutes).
Avec un débit de 12 litres par minute (Information 5), la quantité d'eau versée est de $1200 \times 12 = 14 400$ litres. En comparant les 14 400 litres versés aux 16 404 litres de contenance totale, on conclut que la piscine ne débordera pas.

Les Pièges à Éviter

Plusieurs points de vigilance sont essentiels pour obtenir le maximum de points :
1. **Diamètre vs Rayon** : Dans la piscine octogonale, le schéma pointe le diamètre. Divisez par 2 pour obtenir $R$ avant d'utiliser la formule de l'aire.
2. **Conversions d'unités** : Le volume est calculé en $m^3$ mais le débit est en $L/min$. Il faut impérativement convertir l'un ou l'autre ($1 dm^3 = 1 L$).
3. **Calcul du temps** : Ne vous trompez pas sur le nombre d'heures entre le vendredi après-midi et le samedi matin. Un schéma chronologique peut aider à éviter les erreurs bêtes.

Conseils de Rédaction

Pour convaincre le correcteur au Brevet, structurez votre réponse :
- Citez explicitement l'information utilisée (ex: 'D'après l'information 4...').
- Présentez la formule littérale avant d'effectuer l'application numérique.
- Vérifiez la cohérence de vos résultats : une piscine de $1000 m^2$ ou un remplissage de 2 minutes serait aberrant.