Introduction au sujet Amérique du Sud 2023 (Jour 2)

Le sujet de Baccalauréat de Mathématiques Spécialité tombé en Amérique du Sud le 27 septembre 2023 (Jour 2) est un excellent entraînement pour les élèves préparant la session de juin ou de septembre. Il s'agit d'un sujet « classique » mais complet, qui balaie les quatre piliers majeurs du programme de Terminale : les Probabilités, la Géométrie dans l'espace, les Suites numériques et l'Analyse de fonctions avec une touche de convexité.

Ce sujet est particulièrement intéressant car il mélange des questions procédurales (calculs types) et des questions de réflexion demandant une bonne compréhension des concepts (notamment la partie géométrique de l'analyse).

Analyse détaillée par exercice

Exercice 1 : Probabilités et Loi Binomiale

Cet exercice est découpé en deux parties distinctes, une structure très fréquente au Bac.

• Partie A (Probabilités conditionnelles) : L'originalité ici réside dans la modélisation de tirs successifs où la réussite dépend du tir précédent. Ce n'est pas une simple répétition identique. L'élève doit construire un arbre pondéré à 3 niveaux. Piège à éviter : Ne pas confondre les probabilités conditionnelles données dans l'énoncé avec les probabilités des intersections. La notion de variable aléatoire et d'espérance est ensuite testée de manière classique.
• Partie B (Loi Binomiale) : On change de modèle. On considère $N$ personnes indépendantes. C'est le mot-clé « conditions identiques et indépendantes » qui doit déclencher le réflexe Loi Binomiale. La dernière question demande de trouver un seuil $N$ pour une probabilité donnée, nécessitant l'utilisation des logarithmes ou d'une résolution par inéquation sur la probabilité de l'événement contraire (aucun gagnant).

Exercice 2 : Géométrie dans l'espace

Un exercice très géométrique qui ravira les élèves à l'aise avec la vision dans l'espace.

• Les bases : On commence par démontrer qu'un vecteur est normal à un plan pour en déduire l'équation cartésienne. C'est une compétence socle indispensable.
• Projeté orthogonal et Sphère : L'exercice introduit une sphère et demande de vérifier la tangence d'un plan. La notion de plan tangent est définie dans l'énoncé, ce qui teste la capacité de l'élève à s'adapter à une nouvelle définition (bien que intuitive).
• Intersection Plan/Plan : La dernière question demande une équation paramétrique de droite, résultat de l'intersection de deux plans. Il faut savoir poser un paramètre (par exemple $x=t$) et exprimer les autres coordonnées en fonction de celui-ci.

Exercice 3 : Suites numériques et Python

Cet exercice traite d'une suite arithmético-géométrique, un grand classique.

• Algorithmique : Le sujet demande de compléter une fonction Python. Il s'agit d'une simple boucle for calculant les termes successifs. Pas de difficulté majeure si la syntaxe est connue.
• Raisonnement par récurrence : L'inégalité à démontrer $u_n \geqslant 2n$ est standard. Attention à l'hérédité : il faut bien utiliser l'hypothèse de récurrence pour minorer $u_{n+1}$.
• Suite auxiliaire : L'introduction de la suite $(v_n)$ permet de passer à une suite géométrique explicite. C'est la méthode royale pour trouver la formule explicite de $u_n$. La conjecture demandée à partir de l'affichage Python permet de vérifier la compréhension de la croissance exponentielle.

Exercice 4 : Fonctions, Logarithme et Convexité

C'est le gros morceau d'analyse du sujet, portant sur la fonction $f(x) = \ln(1 + \text{e}^{-x}) + \frac{1}{4}x$.

• Étude de fonction : Calcul de dérivée avec la règle de la chaîne (composée $\ln(u)$) et limites. L'utilisation du Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) est requise pour l'unicité de la solution $\alpha$.
• Convexité et Géométrie : La partie B est la plus originale. Elle lie la convexité ($f''$) à la position de la courbe par rapport à ses tangentes et sécantes. L'élève doit justifier que la courbe est « inscrite » dans un quadrilatère. Cela demande de bien comprendre que sur une fonction convexe, la courbe est au-dessus des tangentes et en-dessous des cordes.
• Calcul littéral : La dernière partie demande de prouver qu'un quadrilatère est un parallélogramme, mélangeant ainsi analyse pure et géométrie plane.